Полиномиальные задачи в классах графов, заданных запрещенными индуцированными циклическими подграфами

11

Кросспост из МО .

Пусть - класс графов, определенный конечным числом запрещенных индуцированных подграфов, причем все они циклические (содержат хотя бы один цикл). $C$

Существуют ли NP-сложные графовые задачи, которые можно решить за полиномиальное время для кроме Clique и Clique cover? $C$

Если я правильно помню, это невозможно для независимого набора (если ). $P=NP$

Поиск в graphclasses.org не нашел ни одного.

Класс, для которого покрытие Clique и Clique является полиномиальным, - это C5, C6, X164, X165, sunlet4, без треугольников

редактировать

Отрицательный для IS и Domination находится в этой статье . Страница 2, графики . $S_{i,j,k}$

— Joro
источник

3

В Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Изоморфизм графов для классов графов, характеризуемых двумя запрещенными индуцированными подграфами : GI - полиномиальное время (тривиально) разрешимо для

графов, но также (менее тривиально) для

графы.

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Марцио Де Биаси

2

Возможно, по вопросу о МО лучше также отметить кросс-постинг, если кому-то там это интересно, они могли бы увидеть ответы / комментарии здесь.

— РБ

1

@MarzioDeBiasi, почему бы не включить ваш комментарий, чтобы ответить?

— Саид

14

Я думаю, что есть ряд сложных проблем, которые становятся легкими для графов без треугольников; особенно те, которые имеют дело непосредственно с треугольниками, такими как разбиение на треугольники (есть ли разделение на треугольники?). Другие менее тривиальные примеры включают в себя:

Проблема стабильного среза (G имеет независимый набор S такой, что GS отключен?). См .: О стабильных наборах в графах, Discrete Applied Math. 105 (2000) 39-50.
Основа графа пересечений (Является ли G графом пересечений подмножеств множества оснований k-элемента?). См .: Проблема [GT59] в: Garey & Johnson, Компьютеры и Intractability: Руководство по теории NP-полноты.

— Пн тег
источник

11

Вот несколько дополнительных примеров ответа Мон Тэга:

Задача о разъединенном отрезке ( допускает ли набор вершин таких что и подграф индуцированный , разъединены) является NP-полной (см. Здесь ). Легко видеть, что эта задача является полиномиально разрешимой для графов без треугольников (отсюда также проблема Устойчивых сечений, как упомянуто Мон Тэгом). $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
Распознавание треугольных линейных графов является NP-полным (см. Здесь ). Также легко видеть, что эта задача становится полиномиальной для входных графов без треугольников.
Вычислить максимальное связанное сопоставление сложно (см. Здесь . Сопоставление связывается, если для любой пары совпадающих ребер имеется другое ребро графа, инцидентное им обоим). Можно доказать, что эта задача полиномиально разрешима для -свободных графов. $(C_3, C_4, C_5)$

— VB Le
источник

Спасибо. Поэтому некоторые проблемы остаются трудными, а другие нет.

— Жоро

10

Из комментария выше: в Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Изоморфизм графов для классов графов, характеризуемых двумя запрещенными индуцированными подграфами : GI является полиномиальным по времени (тривиально) разрешимым для графов, но также (менее тривиально) для графов. $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

РЕДАКТИРОВАТЬ : как отмечено в комментарии, не содержит цикл (я слишком быстро прочитал введение в статью). $K_{1,t}$

Подумав немного об этом, кажется, легко доказать следующее (оригинал?):

Отрицательный результат: для каждого конечного множества , в котором каждый содержит цикл, проблему изоморфизма графов (GI) , ограниченный класс из графы GI-полный. $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

Доказательство: Установленный класс графы , в которых каждая содержу цикл, и , учитывая , пусть есть длина самого длинного цикла s. Заменить каждое ребро в на путь длины $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ добавление новых узлов (смотри рисунок ниже). По построению новых графов являются действительно возможные короткие циклы, образованные в виде треугольника , который должен иметь длину $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; и легко доказать, что они изоморфны тогда и только тогда, когда исходные изоморфны. $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

введите описание изображения здесь
Рисунок : график на левой стороне , и эквивалент графа справа (предположим , что самый длинный цикл имеет длину , так каждое ребро в заменяется путем длины . $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

Мы также можем распространить отрицательный результат на проблему NPC с гамильтоновым циклом, действительно, это является непосредственным следствием следующего (оригинал?):

$k \geq 3$ $G$ $\leq k$

$G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ $\geq k$ $G''$ $G$

введите описание изображения здесь

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Марцио де Биаси
источник

K_{1, t}

$K_{1,t}$

Вы правы! Я пришел с отрицательным результатом ... посмотреть, может ли это сработать, или это совершенно неправильно: -S: -S

— Марцио Де Биаси

Спасибо. Таким образом, вы получили предполагаемый отрицательный результат для цикла GI AND Hamiltonian?

— Джоро

Надеюсь, что это правильно, это решит много неизвестных проблем graphclasses.org.

— Joro

1

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

1

MAX-CUT остается NP-полной.

Лемма 3.2 простой max-cut является NP-полной в следующих двух классах графов:

$k$ $k \ge 3$

Они делят ребро дважды.

Из "MAX-CUT и отношения содержания в графах, Марцин Камински"

— Joro
источник

1

Но вы просили решить проблемы за полиномиальное время, верно?

— Пэн O

@PengO действительно, но это отрицательный результат, поэтому невозможно быть полиномом. Другой ответ также показывает отрицательные результаты.

— joro