Являются ли оракулы ассоциативными?

Этот вопрос может иметь очевидный ответ ... но вот вопрос в любом случае. Интуитивно понятно, что это следующее правдоподобное утверждение - «машина с подпрограммой A, которая в свою очередь имеет подпрограмму B, такая же, как машина с подпрограммой A, у которой есть доступ к подпрограмме B».

Чтобы определить эту проблему формально, я буду использовать некоторые нетрадиционные обозначения. Когда я говорю , я даю оракулу для проблемы . например, . С помощью этой «новой» записи можно определить и т. Д. Мой вопрос A B - C o m p l e t e N P N P = N P S A T = Σ 2 A B $A^B$$A$$B-Complete$$NP^{NP}=NP^{SAT}=\Sigma_2$$A^{B^C}$

• это правильный способ думать о оракулах?
• есть$(A^B)^C = A^{(B^C)}$

Например,$(NP^{NP})^{NP} = \Sigma_2^{NP} = NP^{\Sigma_2}=NP^{({NP}^{NP})}$

Я не могу придумать каких-либо очевидных контрпримеров к этому правилу. Кто-нибудь?

Как сказал Venkat в комментариях, вам трудно понять ваше определение оракула, которое не определено как некоторая характеристика машины.

Пусть будет множеством TM в A с оракулом, который является машиной в ( B с оракулом в машине в C ). Очевидно , что машина А может позвонить C : он просто вызывает машину в B и просит его , чтобы нести сообщение непосредственно C .$A^{(B^C)}$$A$$B$$C$$A$$C$$B$$C$

Я предполагаю, что будет машиной в A, которая может вызывать оракула в C, или оракулом (машиной в B, которая может вызывать машину в C ), так что это точно такое же определение.${(A^B)}^C$$A$$C$$B$$C$

Наконец, вы можете захотеть , который, безусловно, отличается от двух других (просто возьмите B = C = N P и A = P , затем A B , C = N P ∪ c o N P, тогда как A ( B C ) = Σ P 2 ∪ Π p 2 .$A^{B,C}$$B=C=NP$$A=P$$A^{B,C}=NP\cup coNP$$A^{(B^C)}=\Sigma_2^P\cup\Pi_2^p$

Я написал бы следующее как комментарий, но это было слишком долго, чтобы соответствовать.

Давайте сначала опишем значение «алгоритмов в классе с оракулом для языка A.» (На это указал Цуёси Ито). Мы будем использовать то же соглашение, которое использовали Ладнер и Линч . Соглашение хорошо описано Bennett & Gill :$\bf C$

могут быть определены различными способами, в зависимости от того, как обрабатывается лента запроса. Мы следуем соглашениям Ladner и Lynch [LL]: лента запроса не взимается с пробела, но, чтобы не использовать его как рабочую ленту, лента запроса односторонняя и доступна только для записи и стирается автоматически после каждого запроса. (Саймон [Si] рассматривает ленту запросов как одну из рабочих лент, ленту двустороннего чтения / записи, которая заряжается на ограниченном пространстве. Определение Ладнера-Линча является менее ограничительным и, возможно, более естественным, поскольку для случайного оракулаA∈ L O G S P A C E$\bf{LOGSPACE}^A$$A \in \bf{LOGSPACE}^A$ выполняется с вероятностью 1 для [LL], но не для [Si])

[LL] RE LADNER, NA LYNCH, Релятивизация вопросов о вычислимости лог-пространства , Матем. Теория систем, 10 (1976), с. 19-32.

[Si] Дж. Симон, О некоторых центральных проблемах в вычислительной сложности , Tech. Реп ТР 75-224, кафедра компьютерных наук, Корнельский университет, Итака, Нью-Йорк, 1975.

Стандартное определение классов сложности машин-оракулов следующее: Пусть B и C - классы сложности . Тогда является законным класс сложности, определяется как X = ⋃ L ∈ C B L . Здесь B L представляет класс сложности решений задач, решаемых алгоритмом в классе B с оракулом для языка L.$X = B^C$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$B^L$

Так как X является законным классом сложности, для любого класса сложности А, можно говорить о классах сложности и X A = ( B C ) A .$A^X = A^{(B^C)}$$X^A = (B^C)^A$

• относится к классу сложности задачрешаемых решения алгоритма в классе А с оракулом для любого языка L ' ∈ X = ⋃ L ∈ C B L . Другими словами, A X = ⋃ L ′ ∈ { ⋃ L ∈ C B L } A L ′ .$A^X$$L' \in X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$A ^ X = \bigcup\limits_{L'\in \{\bigcup\limits_{L\in C}{B^L}\}}{A^{L'}}$

• относится к классу сложности задачрешаемых решения алгоритма в классе X = ⋃ L ∈ C B L с оракулом для любого языка L ' ∈ A . Другими словами, X A = ⋃ L ′ ∈ A X L ′ = ⋃ L ′ ∈ A ( ⋃ L ∈ C B L ) L ′ .$X^A$$X = \bigcup_{L\in C}{B^L}$$L' \in A$$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{X^{L'}}} = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}}$

Утверждение: .$(B^{L_1})^{L'} \cup (B^{L_2})^{L'} = (B^{L'})^{L_1 \cup L_2}$

Side Note: Since it's 3:00 AM now, I'm too sleepy to check the validity of the above claim! I think it's valid & elementary to prove, yet it's nice to see the actual proof.

Таким образом, можно записать .$X ^ A = \bigcup_{L' \in A} {{{\left( {\bigcup_{L \in C} {{B^L}} } \right)}^{L'}}} = \bigcup_{L \in C, L' \in A} {{{\left( B^{L'} \right)}^L}}$

пример

Пусть . Мы знаем , что C уплотнительное N P ⊆ X . Предоставление как доступ стороны оракула к N P , один получает: с о N P N P ⊆ X N P = ( P N P ) N P .$\bf X = \bf{P^{NP}}$$\bf{coNP} \subseteq \bf X$$\bf {NP}$$\bf{coNP^{NP}} \subseteq \bf{X^{NP}} = (\bf{P^{NP}})^{\bf{NP}}$

эпилог

Плодотворная дискуссия с Цуёси Ито показала (для меня), что нелегко вдвойне релятивизировать класс сложности. На самом деле, даже определение одного кажется проблематичным. Я должен определенно учиться больше, чтобы видеть, дается ли когда-нибудь удовлетворительное определение. Между тем, я ценю любые комментарии, которые могут быть использованы для решения этой проблемы.