Существуют ли локальные максимумы в количестве ходов, необходимых для решения кубика Рубика?

Питер Шор затронул интересный момент в связи с попыткой ответить на предыдущий вопрос о сложности решения кубика Рубика . Я опубликовал довольно наивную попытку показать, что она должна содержаться в NP. Как отметил Питер, в некоторых случаях мой подход не работает. Одним из возможных случаев такого случая является наличие локальных максимумов в длине пути. Под этим я имею в виду , что это может занять шаги , чтобы решить куб от конфигурации , а также или движется решить кубик из любого положения , которое может быть достигнуто в одном переходе от . Теперь, это не обязательно такая проблема, если $n \times n \times n$ $S_A$ $A$ $S_A$ $S_A - 1$ $A$ $S_A$ это максимальное количество ходов, необходимое для решения куба в целом (число Бога для этого куба), но это определенно проблема, если строго меньше, чем число Бога для этого куба. Поэтому мой вопрос: существуют ли такие локальные максимумы? Даже ответ для кубика будет мне интересен. $S_A$ $3 \times 3 \times 3$

co.combinatorics puzzles

— Джо Фитцсимонс
источник

Хотя у меня нет примера, я был бы удивлен, если бы его не было, потому что это, кажется, подразумевает, что мы можем вычислить число Бога, просто найдя одну конфигурацию, которая является локальным максимумом (хотя это не строгий аргумент).

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi Ах, но, возможно, не было известно, существовали ли локальные максимумы до тех пор, пока не было вычислено число Бога! Но я согласен в том, что я ожидаю, что эти локальные максимумы существуют. Я просто не знаю наверняка, и было бы интересно узнать.

— Джо Фицсимонс

@Joe: Да, это именно то, что не является строгим в моем аргументе. Я был бы более строго удивлен :), если бы можно было доказать, что нет локальных максимумов без выполнения исчерпывающего поиска.

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi Кажется, что локальные максимумы не могут возникать при очень коротких длинах пути, и, вероятно, существуют только близко к Божьему числу, поэтому я думаю, что они не настолько однозначны, что они существуют.

— Джо Фицсимонс

Я знаю, что графы Кэли для произвольных групп могут иметь локальные максимумы. Я забыл, где я видел этот результат, но я уверен, что где-то видел его. Таким образом, если группа кубиков Рубика не является чем-то особенным, можно ожидать, что она также имеет локальные максимумы.

— Питер Шор

Ответы:

На вопрос Томаса Рокицки этот вопрос сразу же дал правильный ответ («да, локальные максимумы существуют»):

Если позиция демонстрирует полную симметрию, она обязательно является локальным максимумом (все, кроме начала). Небольшая мысль должна прояснить, почему это так в QTM [метрике четверть оборота]. Для HTM [полуоборота метрики] это немного тоньше, но не так уж плохо.

...

Такой позицией является pons asinorum, расстояние 12 в QTM и расстояние 6 в HTM (U2D2F2B2L2R2).

Я не понимаю, почему это так для метрики на половину оборота; но для метрики четверть оборота это ясно. В позиции с полной симметрией все соседние позиции должны иметь одинаковую длину пути (поскольку все перемещения эквивалентны по симметрии). Таким образом, позиция с полной симметрией должна быть либо локальным максимумом, либо строгим локальным минимумом. Но строгие локальные минимумы не могут существовать ... должен быть некоторый ход, который уменьшает расстояние до решенного состояния, просто путем определения расстояния. Аргумент симметрии преобразуется в куб , как и приведенная в примере позиция. $n \times n \times n$

— mjqxxxx
источник

Какой простой аргумент, это замечательно!

— Сянь-Чи Чанг 之之

Отлично, это очень хороший аргумент!

— Джо Фитцсимонс

$N_d$ $d$ $d-1$ $d$ $d+1$ $N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$ $M$ $M$ $d$ $M$ $d+1$ , Если мы возьмем эти позиции равномерно и случайным образом из доступных позиций (что, конечно, не так; это эвристическая часть), мы получим:

\begin{array}{rcl} X_{d} & = & P [a given position at d is a local max] \\ = & {(\frac{N_{d - 1} + N_{d}}{N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}})}^{M} \\ = & {(1 + \frac{N_{d + 1}}{N_{d - 1} + N_{d}})}^{- M} . \end{array}

$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$

$d$ $N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$ $M=18$ $N_d$ $N_{16} X_{16} = 0.2$ $N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$ $N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$ $d \le 16$ $d=17$ $12 \times 10^{18}$ $d=18$

— mjqxxxx
источник

N_{d - 1} + N_{d} + N_{d + 1}

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$

N_{d}

$N_d$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d

$d$

d - 1

$d-1$

d + 1

$d+1$

d

$d$ , Я понятия не имею, насколько распространенными или редкими будут эти ситуации.

— Джо Фицсимонс