Проверка полиномиальных множителей на линейные

Позволять $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ быть полиномом, заданным арифметической схемой $C$ размера $s$ , Данный $C$ в качестве входных данных, есть ли детерминированный алгоритм, чтобы проверить, все ли неприводимые факторы $f$ в $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ такое линейные формы? На связанной ноте, учитывая линейную форму $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ можем ли мы проверить детерминистически $l$ является фактором $f$ , Конечно, мы хотим, чтобы время выполнения было полиномиальным в обоих случаях. Под размером мы подразумеваем общий размер бита. Кроме того, можно предположить, что степень $f$ является полиномом в $n$ ,

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Горав Джиндал
источник

Когда вы говорите "размер

s

$s$ «Означает ли это количество вентилей / проводов или общий размер в битах (с учетом битов, используемых для описания любых констант в схеме)?»

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow, да, размер здесь - размер битов.

— Горав Джиндал

Три комментария, которые вы, вероятно, уже имели в виду, но на всякий случай: 1. Относительно полиномиального времени, алгоритмы факторизации для арифметических схем полиномиальны по размеру и степени полинома, и я не знаю алгоритмов для связанных задач, которые выполняются в Полиномиальное время только в размере. 2. Что касается детерминизма, эти алгоритмы являются рандомизированными, и детерминированные варианты становятся экспоненциальными по числу переменных. 3. Второй вопрос можно перевести в проблему PIT, поэтому ваш вопрос сводится к дерандомизации некоторого конкретного алгоритма PIT.

— Бруно

Я также добавляю, что я нахожу эти проблемы очень интересными, и я хотел бы знать, что уже известно об этом!

— Бруно

re PIT, проверка полиномиальной идентичности с помощью Schwartz-Zippel / wikipedia, и в этой области ведутся активные исследования. (Можно ли использовать pg PIT для разложения целых чисел, но что это за ссылка, в которой описано, как использовать ее для разложения полиномов?)

— vzn

Насколько я знаю, лучший алгоритм, который мы имеем в настоящее время, чтобы проверить, если $f$ (заданный арифметической схемой) может быть разложен на линейные факторы с помощью рандомизированного алгоритма Кальтофена (PDF), который фактически производит черные ящики для всех неприводимых факторов $f$ и работает над любым достаточно большим полем. Фактически, эта проблема полиномиальной факторизации для общих цепей была недавно показана Коппарти, Сарафом и Шпилкой эквивалентной проблеме черного ящика-PIT для общих цепей.

Как уже упоминалось Бруно, если вы заинтересованы в проверке, данная схема делится на данную $\ell$ , то это сводится к конкретной проблеме PIT. Мы не знаем, как сделать это детерминистически в целом, но я знаю один особый случай, когда мы знаем, как сделать это ЯМ. Существует детерминированный многополосный алгоритм (PDF), чтобы проверить, является ли данный $\ell$ делит данный разреженный полином $f$ ,

(Еще один банальный особый случай, когда $f$ задается ограниченным верхним трехконтурным вентилятором. Там, $f \bmod \ell$ это также ограниченная трехконтурная схема с глубиной вентилятора, и мы знаем, как сделать PIT за детерминированное полиномиальное время.)

— Ramprasad
источник