True Bit Сложность умножения матриц

Умножение матриц с использованием обычной техники (ряд - столбец) занимает $O(n^{3})$ умножение и $O(n^{3})$дополнения. Однако при условии, что записи равного размера (количество битов в каждой записи обеих матриц умножается) размера$m$ биты, операция сложения на самом деле происходит на $O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$ биты.

Таким образом, кажется, что истинная сложность умножения матриц, если измеряться с помощью битовой сложности, должна быть $O(n^{4})$,

$(1)$Это правильно?

Предположим, если кто-то создает алгоритм, который уменьшает сложность бита до $O(n^{3+\epsilon})$ вместо общего умножения и сложения, это может быть более надежный подход, чем, скажем, сокращение общего умножения и сложения $O(n^{2+\epsilon})$ как попытались исследователи, такие как Копперсмит и Кон.

$(2)$ Это действительный аргумент?

Нет, битовая сложность умножения матриц на $M$-битные записи $n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$, где $\omega < 2.4$является самым известным показателем умножения матриц. Умножение и сложение$M$-битные числа могут быть сделаны в $M (\log M)^2$время. Умножение двух$M$-битные числа дают число, которое имеет не более $2M$биты. Добавление$n$ числа $M$ каждый бит, дает число, которое имеет не более $M+\log n+O(1)$биты. (Подумайте об этом: сумма не более$n 2^M$Таким образом, битовое представление занимает не более $\log (n 2^M)+O(1)$ бит.)

Ссылки на быстрые алгоритмы умножения целых чисел можно найти с помощью веб-поиска или википедии.