Мультипликативная версия 3-СУММ

Что известно о временной сложности следующей задачи, которую мы называем 3-MUL?

Для заданного множества $S$ из $n$ целых чисел существуют ли такие элементы $a,b,c\in S$ , что $ab=c$ ?

Эта проблема похожа на задачу 3-СУММ, которая спрашивает, существуют ли три элемента $a,b,c\in S$ такие что $a+b+c=0$ (или эквивалентно $a+b=c$ ). Предполагается, что 3-СУММ требует приблизительно квадратичного времени по $n$ . Есть ли подобная гипотеза для 3-MUL? В частности, известно, что 3-MUL - это 3-SUM?

Обратите внимание, что временная сложность должна применяться в «разумной» модели вычислений. Например, мы могли бы уменьшить значение с 3-СУММ на множестве $S$ до 3-МУЛ на множестве $S'$ , где $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ . Тогда решение 3-MUL, $2^a\cdot 2^b=2^c$ , существует тогда и только тогда, когда $a+b=c$ . Однако это экспоненциальное увеличение чисел очень плохо масштабируется с различными моделями, такими как модель ОЗУ, например.

Ваше сокращение с $3$ СУМ до $3$ МУЛ работает с незначительной стандартной модификацией. Предположим, что ваши исходные целые числа были в { $1,\ldots,M$ }. После преобразования $x\rightarrow 2^x$ новые целые числа находятся в { $2,\ldots,2^M$ }. Мы будем уменьшать ассортимент.

Рассмотрим любую тройку целых чисел в новом множестве S ′ . Число простых делителей любого ненулевого б - с является < 2 М . Количество таких троек n 3 . Следовательно, число простых чисел q, которые делят хотя бы одно из ненулевых чисел a b - c , не больше 2 M n 3 .$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

Пусть - множество первых 2 M ⋅ n 4 простых чисел. Наибольшее такое простое число имеет размер не более O ( M n 4 log M n ) . Выберите случайный простой р ∈ P . С большой вероятностью p не будет делить ни одного из ненулевых a b - c , поэтому мы можем представить каждое a ∈ S ′ его вычетом, mod p , и если 3 MUL найдет некоторое a b = c в $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$ С высокой вероятностью это будет правильным для исходногоэкземпляра 3 SUM. Мы сократили диапазон чисел до { 0 , … , O ( M n 4 log M n ) }.$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(Это стандартное уменьшение размера. Возможно, вам удастся добиться большего, если учесть тот факт, что всегда являются разностями двух степеней 2 ).$ab-c$$2$

$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$