Почему графы Рамануджана названы в честь Рамануджана?

Недавно я преподавал расширители и ввел понятие рамануджановских графов. Майкл Форбс спросил, почему их так называют, и я должен был признать, что не знаю. Кто угодно?

Чтобы добавить некоторое содержание к ответам здесь, я кратко объясню, какова гипотеза Рамануджана.

Прежде всего, гипотеза Рамануджана на самом деле является теоремой, доказанной Эйхлером и Игузой. Вот один из способов заявить это. Обозначим через $r_m(n)$ число интегральных решений квадратного уравнения $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Если $m=1$ , то $r_m(n) > 0$м г м ( п ) = с т Σ д | п д + О ( п 1 / 2 + ε ) ε > 0 с м$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips и Sarnak построили свои расширители на основе этого результата. Я не знаком с деталями их анализа, но я считаю, что основная идея состоит в том, чтобы построить граф Кэли из для простого , , с использованием генераторов, определяемых каждой суммой разложение по четырем квадратам p , где p - квадратичный вычет по модулю q . Затем они связывают собственные значения этого графа Кэли с r_ {2q} (p ^ k) для целых степеней k . q 1 mod 4 p p q r 2 q ( p k ) $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

Ссылкой, помимо самой статьи Любоцкого-Филлипса-Сарнака, является краткое описание Ноги Алона в « Инструментах из высшей алгебры» .

Википедия дает этот ответ довольно быстро. квотирование

Конструкции рамануджановских графов часто алгебраичны. Любоцкий, Филлипс и Сарнак показывают, как построить бесконечное семейство -регулярных рамануджановых графов, когда - простое число. Их доказательство использует гипотезу Рамануджана , которая привела к названию графов Рамануджана.р = $p+1$$p = 1 \mod 4$

Упомянутый документ представляет собой графы Рамануджана A. Lubotzky, R. Phillips и P. Sarnak, COMBINATORICA, том 8, номер 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.