Почему бесконечная иерархия типов?

18

Coq, Agda и Idris имеют бесконечную иерархию типов (Тип 1: Тип 2: Тип 3: ...). Но почему бы не сделать это, как λC, систему в лямбда-кубе, которая ближе всего к исчислению конструкций и имеет только два , $*$ и , и эти правила? $◽$

\frac{}{\emptyset ⊢ * : ◽}

$\frac {} {∅ ⊢ * : ◽}$

\frac{Γ ⊢ T_{1} : s_{1} Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1}, t) : (Π x : T_{1}, T_{2})}

$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ t : T _ 2} {Γ ⊢ (λ \: x : T _ 1, \: t) : (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2)}$

\frac{Γ ⊢ T_{1} : s_{1} Γ, Икс : T_{1} ⊢ T_{2} : s_{2}}{Γ ⊢ (Π Икс : T_{1}, T_{2}) : s_{2}}

$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ T _ 2 : s _ 2} {Γ ⊢ (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2) : s _ 2}$

Это кажется проще. Есть ли у этой системы важные ограничения?

coq dependent-type calculus-of-constructions

— Руи Баптиста
источник

19

На самом деле, подход CoC более выразителен - он допускает произвольную непредсказуемую количественную оценку. Например, тип $\forall a.\; a \to a$ Можно создать экземпляр для себя $(\forall a.\; a \to a) \to (\forall a.\; a \to a)$ , что невозможно при иерархии юниверсов.

Причина, по которой он не используется широко, заключается в том, что непредсказуемое количественное определение несовместимо с классической логикой. Если у вас это есть, вы не можете дать модель теории типов, в которой типы интерпретируются как множества наивным способом - см. Знаменитую статью Джона Рейнольдса « Неимметричный по множеству» .

Поскольку многие люди хотят использовать теорию типов как способ проверки обычных математических доказательств, они, как правило, не испытывают энтузиазма по поводу теоретико-типичных особенностей, которые несовместимы с обычными основами. На самом деле, Coq изначально поддерживала непредсказуемость, но они неуклонно отказывались от нее.

— Нил Кришнасвами
источник

9

Я дополню ответ Нила (как обычно, отлично) более подробным изложением того, почему уровни используются на практике.

Первое важное ограничение CoC состоит в том, что это тривиально! Удивительное наблюдение состоит в том, что нет типа, для которого вы можете доказать, что он имеет более одного элемента, а тем более бесконечное их число. Добавление всего 2 вселенных дает вам натуральные числа с доказуемо бесконечным количеством элементов и всеми «простыми» типами данных.

Второе ограничение - это правила вычислений: CoC поддерживает только итерацию , т. Е. Рекурсивные функции не имеют доступа к подусловиям своих аргументов. По этой причине удобнее добавлять индуктивные типы в качестве примитивной конструкции, порождая CIC. Но теперь возникает другая проблема: наиболее естественное правило индукции ( в данном контексте называемое исключением ) несовместимо с Исключенным Средним! Эти проблемы не появляются, если вы ограничиваете правило индукции предикативными типами с юниверсами.

В заключение представляется, что CoC не обладает ни выразительностью, ни надежностью по сравнению с последовательностью, которую вы хотели бы видеть в основополагающей системе. Добавление вселенных решает многие из этих проблем.

— Коди
источник

У вас есть ссылки на первое ограничение? Если нет, не могли бы вы дать подсказки о том, как вторая вселенная помогает доказать (пропозициональное? Мета?) Неравенство?

— Лукаш Лью

@ ŁukaszLew Это на самом деле простое следствие «не относящейся к доказательству» модели, которую можно легко найти. В этой модели ни один тип не имеет более 1 элемента. Наличие 2 вселенных предотвращает существование этой модели. Тезис Александра Микеля дает ссылку на тип с бесконечным числом элементов с двумя вселенными.

— Коди