Сложность подсчета графовых эндоморфизмов

Гомоморфизм из графа$G = (V, E)$ на график $G' = (V', E')$ это отображение $f$ от $V$ в $V'$ такой, что если $x$ а также $y$ смежны в $E$ тогда $f(x)$ а также $f(y)$ смежны в $E'$, Эндоморфизм графа$G$ является гомоморфизмом из $G$к себе; это без фиксированной точки, если нет$x$ такой, что $f(x) = x$и это нетривиально, если это не идентичность.

Недавно я задал вопрос, связанный с автоморфизмами (и графами) множеств , то есть биективными эндоморфизмами, обратные к которым также являются эндоморфизмами. Я нашел соответствующую работу по подсчету (и определению существования) автоморфизмов, но в процессе поиска я не смог найти никаких результатов, связанных с эндоморфизмами.

Отсюда мой вопрос: в чем сложность, учитывая график$G$принятия решения о существовании нетривиального эндоморфизма $G$или подсчета количества эндоморфизмов? Тот же вопрос с эндоморфизмами без неподвижных точек.

Я думаю, что аргумент, приведенный в этом ответе, распространяется на эндоморфизмы и оправдывает то, что случай ориентированных двудольных графов или по- зетов не проще, чем проблема для общих графов (проблема для общих графов сводится к этому случаю), но его сложность не кажется простым для определения. Известно, что решение о существовании гомоморфизма от одного графа к другому является NP-трудным (это ясно, поскольку оно обобщает раскраску графа), но кажется, что ограничение поиска гомоморфизмами от графа к себе может облегчить проблему, так что это не помогает мне определить сложность этих проблем.

Подсчет эндоморфизмов или эндоморфизмов без неподвижных точек завершен для $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$: дан связный граф $G$рассмотрим график $G'$ который является непересекающимся союзом $G$и треугольник. затем$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$, так $\# 3COL$может быть вычислено с использованием двух счетчиков эндоморфизмов (и по общему результату даже одного достаточно) и некоторой последующей обработки за многократное время. Обратите внимание, что количество треугольников можно посчитать за кубическое (или даже умножение матрицы) времени. То же самое уравнение справедливо для свободных эндоморфизмов с фиксированной точкой, поскольку 3-раскраски и треугольники являются эндоморфизмами без фиксированных точек$G'$,

Если вы хотели бы $G'$Чтобы быть на связи, вы можете сделать следующее. Прежде всего обратите внимание, что подсчет вершинного цвета графа эндоморфизмов (где вершины цвета$c$ может быть сопоставлен только с другими вершинами цвета $c$) эквивалентен подсчету графовых эндоморфизмов следующим образом. Пусть цвета будут$\{1,...,C\}$, Для каждой вершины$v$ цвета $c$, добавить в новый непересекающийся нечетный цикл$C_v$ размером как минимум $n + 2c$ ($n=|V(G)|$) и соединить одну вершину $C_v$ в $v$, Каждый эндоморфизм$G$ соответствует $2^n$эндоморфизмы нового графа (для каждого цикла у вас есть два варианта его отображения). Обратите внимание, что нет вершин$G$ можно сопоставить с вершинами любого $C_v$, так как циклы слишком велики (вы должны быть в состоянии поместить один цикл в другой, что невозможно для нечетных циклов).

Теперь, чтобы сделать версию $G'$это связано, мы начинаем с цветной версии, а затем применяем вышеупомянутое преобразование. Начните как прежде, добавив к$G$ непересекающийся треугольник $\Delta$, Теперь добавьте одну новую вершину$v_0$ который связан с каждой вершиной в $G \cup \Delta$, цвет$v_0$ красный и все остальные вершины синие.