Есть ли какие-либо открытые проблемы с DFA?

После изучения детерминированных конечных автоматов (DFA) в старшекурснике, я почувствовал, что они очень хорошо поняты. Мой вопрос: есть ли что-то, чего мы до сих пор не понимаем в них. Я имею в виду не обобщения ДФА, а исходные немодифицированные ДФА, которые мы изучаем в старшекурсниках.

Это неопределенный вопрос, но я надеюсь, что вы поняли идею. Я хочу понять, справедливо ли сказать, что мы полностью понимаем DFA. Таким образом, я действительно имею в виду вопросы, которые по своей сути связаны с DFA, а не проблемы, искусственно созданные для того, чтобы выглядеть как проблема с DFA. Позвольте мне привести пример такой проблемы. Пусть L будет пустым языком, если P = NP, и некоторым фиксированным нерегулярным языком, если P не является NP. Может ли L быть принята DFA? Этот вопрос о ДФА, но не о них по духу. Я надеюсь, что моя точка зрения ясна, и я не получаю педантичные ответы от людей.

Короче говоря честно ли

По сути, мы полностью понимаем DFA.

Мне жаль, если выясняется, что это огромная область исследований, о которой я не знал, и я только что оскорбил целое сообщество людей.

Вот одна проблема, описанная в книге «Второй курс по формальным языкам и теории автоматов» Шаллита.

Пусть и два разных слова с . Каков размер самого маленького DFA, который принимает но отклоняет , или наоборот?v | ты | = | V | = n u $u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Робсон в своей работе « Разделение струн маленькими автоматами » в 1989 году доказал верхнюю оценку . Самая известная нижняя граница в .Ω ( лог - п $O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Для просмотра смотрите это .

Вот очень простое решение проблемы с DFA. Учитывая DFA M, принимает ли M представление base-2 хотя бы одного простого числа?

В настоящее время мы даже не знаем, рекурсивно ли разрешима эта проблема.

Если он рекурсивно разрешим, и у нас был алгоритм для него, мы могли бы решить давнюю открытую проблему о том, существуют ли какие-либо простые числа Ферма (простые числа в форме ) больше, чем наибольшее известное, 65537. (Поскольку любое простое число с представлением base-2 в форме должно быть простым числом Ферма.)1 0 +$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

Гипотеза Черны все еще открыта и важна. Речь идет о DFA, которые имеют синхронизирующее слово (слово со свойством, что две копии автомата, запущенные в разных состояниях, всегда оказываются в одном и том же состоянии друг с другом после обработки слова), и спрашивает, есть ли (для состояния) автоматы) длина самого короткого такого слова всегда не более . Наилучшие доказанные оценки имеют вид .( n - 1 ) 2 O ( n 3$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Я хочу указать на еще одну исследовательскую проблему, которая касается взаимодействия самых базовых понятий о DFA.

Хорошо известно, что любой NFA в n-состоянии может быть преобразован в эквивалентный DFA, имеющий не более состояний. Это наилучшим образом возможно в худшем случае, в том смысле, что существуют обычные языки с недетерминированным состоянием состояний n (т. Е. Числом состояний в минимальном NFA), но с детерминированным состоянием состояний . Есть также примеры языковых семейств, где недетерминизм может спасти квадратичный фактор, и случаи, когда недетерминизм вообще не помогает спасти какие-либо состояния. Таким образом, естественный вопрос заключается в следующем:2 $2^n$$2^n$

Проблема магического числа

Существует ли для каждого между и регулярный язык такой, что разрыв между сложностью недетерминированного состояния и сложностью детерминированного состояния составляет точно ?n 2 n L n$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

Если мы полностью поймем конструкцию powerset и отношение Myhill-Nerode с математической точки зрения, то я ожидаю, что можно создавать такие языки для каждого или альтернативно указывать значения для которых это невозможно (если такие значения существуют, они называются «магическими числами»).$\alpha$$\alpha$

Известно, что существуют магические числа для входного алфавита размера , а с 2009 года не существует магических чисел, если размер алфавита составляет не менее . Но если я не ошибаюсь, дело о бинарных алфавитах все еще остается открытым.$1$$3$

Галина Йираскова. Магические числа и троичный алфавит. В кн .: 13-я Международная конференция «Развитие теории языка» (DLT 2009), том 5583 «Конспекты лекций в области компьютерных наук», страницы 300–311.

Название: Пересечение не пустоты для двух ДФА

Описание: Учитывая два ДКА и , существует ли строка такая , что и оба принимают ?Д 2 х Д 1 Д 2$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Открытая проблема: Можем ли мы решить непустоту пересечения для двух DFA за времени?$o(n^2)$

Если бы мы могли решить эту проблему за время, когда <2, то гипотеза сильного экспоненциального времени была бы опровергнута.$O(n^{\delta})$$\delta$

Пояснение: Определение пустоты пересечения регулярных языков в субквадратичном времени.

Вы можете найти это полезным: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Хорошего дня! :)

Вот открытая проблема, связанная с DFA и теорией машинного обучения: являются ли равномерно случайные (случайные переходы и поведение принятия / отклонения) DFA обучаемыми в модели PAC?

Примечание: мы думаем, что произвольный DFA не может быть изучен на основе результатов криптографической твердости . Для случайного DFA у нас есть только нижние оценки SQ , которые не так сильны.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

Мне кажется, что формула замкнутой формы должна существовать, но ни одна не известна. Известны некоторые асимптотические оценки:

$n$

Вот вопрос, связанный с DFA, который я задавал здесь раньше, и, насколько я знаю, он все еще открыт:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$| D F A ( n ) | = n 2 n 2 $n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

Теперь рассмотрим две строки и определим как количество элементов которые принимают как и .K n ( x , y ) D F A ( n ) x $x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

Вопрос: в чем сложность вычисления ? В частности, можно ли вычислить за время ?K n ( x , y ) p o l y ( n , | x | , | y |$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Этот вопрос имеет значение для машинного обучения .

(«мыслить нестандартно» ...) это несколько надуманная проблема, связанная с DFA (не рассматривали ее в других местах), но в TCS проявляется тема, что даже многие явно «простые» вычислительные объекты (такие как DFA) могут иметь сложные свойства также аспект / тема, воплощенная в теореме Райса. (в некоторых отношениях конечная «сложность» - это «неразрешимость», то есть полнота Тьюринга.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$также является RL (и DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

Теперь, чтобы связать это больше с вопросом, хотя это широко не отмечено (некоторые считают его тривиальным), многие открытые проблемы в TCS / математике тесно связаны с неразрешимостью в том, что, учитывая оракула для проблемы остановки, они могут быть " решено».

следовательно, в некотором смысле, связывая все это вместе с помощью этой основной проблемы с DFA, которая неразрешима, всегда будут открытые проблемы с DFA, потому что всегда будут «открытые» проблемы с DFA (такими как эта), эквивалентные неразрешимым проблемам , фактически используя теорему Райса в обратном порядке, так как эта конструкция в некотором смысле делает это, в принципе любое относительно «простое», но нетривиальное вычислительное свойство в TCS может быть использовано для построения неразрешимых задач.

[1] Проблемы со словом, требующие экспоненциального времени / Stockmeyer & Meyer

[2] Мейер, AR и Л. Стокмейер. Задача эквивалентности для регулярных выражений с возведением в квадрат требует экспоненциального пространства. 13-й симпозиум IEEE по теории коммутации и автоматов, октябрь 1972 г., с. 125–129.

[3] Введение в языки, автоматы и вычисления / Хопкрофт / Ульман.