Снижение P против NP до SAT

Следующий вопрос использует идеи из криптографии, примененные к теории сложности. Тем не менее, это чисто теоретический вопрос сложности, и для его ответа не требуется никаких криптовалют.

Я намеренно пишу этот вопрос очень неформально. В отсутствие подробностей, это, возможно, указано немного неправильно. Пожалуйста, не стесняйтесь указывать на исправления в ваших ответах.

В следующей статье: «
Неприменимая криптография», Дэнни Долев, Синтия Дворк и Мони Наор, SIAM Rev. 45, 727 (2003), DOI: 10.1137 / S0036144503429856 ,
авторы пишут:

Предположим, что исследователь A получил доказательство того, что P ≠ NP, и хочет сообщить об этом факте профессору B. Предположим, что, чтобы защитить себя, A доказывает свою претензию на B с нулевым знанием ...

Существует несколько стандартных NP-полных задач, таких как выполнимость (SAT), Graph-Hamiltonicity и Graph-3-Colorability (G3C), для которых существуют доказательства с нулевым знанием. Стандартный способ доказательства любой NP-теоремы состоит в том, чтобы сначала свести ее к экземпляру вышеупомянутых NP-полных задач, а затем провести доказательство с нулевым знанием.

Этот вопрос относится к такому сокращению. Предположим, что P против NP рассчитывается любым из следующих способов:

P = NP
P ≠ NP
P против NP не зависит от стандартной аксиоматической теории множеств.

Обозначим через σ доказательство. Тогда P против NP на NP языке (так как для этого существует краткое доказательство). Приведение от теоремы (скажем, P ≠ NP) к NP-полной задаче (скажем, SAT) не зависит от σ. Это:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

Это далеко за пределами моего воображения! Кажется, что даже если нам дано доказательство σ, вряд ли мы сможем построить такую формулу ϕ.

Может ли кто-нибудь пролить свет на это?

Кроме того, пусть L - NP-язык, на котором лежит P против NP . Язык состоит из бесконечного множества теорем, таких как P и NP , произвольных размеров.

Какой кандидат на Л?
Может ли L быть NP-завершенным?

— М.С. Дусти
источник

Я не понимаю эту часть: «Пусть σ обозначает доказательство. Тогда P против NP находится в NP (поскольку существует короткое доказательство для него). Сокращение от теоремы (скажем, P ≠ NP) к NP -полная задача (скажем, SAT) не зависит от σ. То есть: существует формула ϕ, которая выполнима тогда и только тогда, когда P ≠ NP. ". Не могли бы вы объяснить это немного больше? Мне не имеет смысла, что «P против NP в NP», даже если вы измените его на «есть ли доказательство длины не более n в теории T для P \ neq NP». Либо есть наименьшее число n, так что есть доказательство такого размера для вопроса, либо нет такого доказательства.

— Каве

[продолжение] Если его нет, функция, которая всегда отклоняет, отвечает на вопрос, а в другом случае функция, которая принимает любое число, превышающее длину наименьшего доказательства, и отклоняет что-либо меньшее, чем решит вопрос. Вопрос о том, что , и , делает доказательством размера n в является NP, но если вы исправите это не имеет большого смысла.

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

— Каве

Также отметим, что вопрос, который «дает утверждение (как ), доказуемо ли он в теории первого порядка

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$ ?» не поддается решению в общем.

— Каве

@Kaveh: разъяснение добавлено.

— MS Dousti 17.10.10

некоторые интересные идеи, но нет смысла говорить «доказательство в NP» или «существует короткое доказательство». то есть мог бы быть какой-то метод создания этих параллелей, но он должен был бы быть более формально определен Наиболее близкими к этим идеям, похоже, были бы разборов / рудичей естественных доказательств рамки.

— 13

Ответы:

Способ рассмотрения проверки математического утверждения (например, разрешения P против NP) как вопроса формы «является формулой… выполнимой» заключается в следующем:

Исправить некоторую систему аксиом. Для строки длины n, является ли строка доказательством для математического оператора в системе аксиом, это можно определить простым способом: строка должна состоять из предложений. Каждое предложение должно быть либо аксиомой, либо должно следовать из предыдущих предложений по одному из правил вывода.

Это не проблема определить булеву формулу, которая проверяет все это. Все, что вам нужно знать, это длина n доказательства!

— Дана Мошковиц
источник

P против NP находится в NP (поскольку существует краткое доказательство этого)

Это не имеет особого смысла для меня. NP - класс сложности для решения задач, которые имеют произвольно большие экземпляры, а P против NP не имеют их. Из того, что вы говорите позже:

пусть L - NP-язык, на котором лежит P против NP.

вместо этого вы можете иметь в виду, что P против NP является примером проблемы NP; но конечно это так! Это также пример бесконечного числа проблем P, DTIME (n) и т. Д. В частности, здесь есть два DTIME (1) кандидата на L, точно один из которых является правильным: всегда возвращаться true; или всегда возвращайся false.

— Алексей романов
источник

Пожалуйста, прочитайте примечание в начале вопроса снова. Я изложил это неофициально, и это приводит к вашей путанице. Чтобы формализовать, нужно рассмотреть обобщение теоремы «P против NP». Для бесконечного числа n обобщение предполагает теорему длины n. Из теорем рождается язык L, который невозможно определить в DTIME (1).

— MS Dousti 17.10.10

Тогда короткое доказательство / опровержение «P против NP» - это только один случай «обобщенного P против NP» (возможно, простой?), И из этого не следует, что GPvNP находится в NP.

— Алексей Романов

Пониженное голосование: я понимаю возражение против того, как сформулировано первое цитируемое утверждение, поскольку члены NP являются множествами, а «P против NP» не является множеством. Однако, по второму возражению, любая «проблема NP» - это проблема решения, которая всегда может быть законно сформулирована как решение о наличии строки в языке; Я не вижу ничего плохого в его определении L. Далее, обращение к тривиальным, всегда истинным или всегда ложным языкам DTIME (1) игнорирует вопрос: если мы уже знаем ВСЕ истинные утверждения, предположительно мы создаем внешний вид. таблица для доступа машины Тьюринга к постоянному времени.

— Даниэль Апон

[Продолжение] Но если предположить, что L является правильным языком (то есть бесконечным множеством), то вы предполагаете бесконечно большую таблицу «истинных утверждений» для доступа, которая, кажется, нарушает все виды правил. Или, более конкретно, почему ваш аргумент в пользу DTIME (1) не обобщается на ЛЮБОЙ язык, а не только на нечетный, который мы сейчас рассматриваем?

— Даниэль Апон

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$