Языки, распознаваемые DFA полиномиального размера

Для фиксированного конечного алфавита , формальный язык над является регулярным , если существует детерминированный конечный автомат (ДКА) над , которая принимает ровно .L $\Sigma$$L$$\Sigma$$\Sigma$$L$

Я интересуюсь языками, которые «почти» регулярны в том смысле, что они могут распознаваться автоматическими семействами размеров, которые растут только полиномиально с длиной слова.

Формально, позвольте мне сказать , что формальный язык является признанным на DFA семьи , если для каждого слова , что позволяет, находится в если принимает (независимо от того, принимают ли другие это или нет), и позвольте мне определить p-регулярные языки как языки, распознаваемые с помощью PTIME-вычисляемого семейства DFA полиномиального размера, а именно: многочлен P такой, что | A_n | \ leq P (n) для всех n$L$ w ∈ Σ ∗ n = | ш | w L A n w A $(A_n)$$w \in \Sigma^*$$n = |w|$$w$$L$$A_n$$w$$A_i$P | A n | ≤ P ( n ) $(A_n)$$P$$|A_n| \leq P(n)$$n$, (Это имя, «p-регулярный», я придумал, мой вопрос состоит в том, чтобы узнать, существует ли другое имя для этого. Обратите внимание, что это не то же самое, что p-регулярные языки в смысле автоматов перестановки .)

Этот класс p-регулярных языков включает, конечно, обычные языки (просто возьмите $A_n = A$ для всех $n$ , где $A$ - некоторый DFA, распознающий обычный язык); но это строгий надмножество: например, хорошо известно, что $\{a^n b^n \mid n \in \mathbb{N}\}$ зависит от контекста, но не является регулярным, но это p- обычный ( $A_n$ просто должен посчитать $n$ вхождений $a$ и $n$ вхождений $b$ ). Однако, поскольку я требую, чтобы автоматы были DFA полиномиального размера , некоторые формальные языки (фактически некоторые языки без контекста) не являютсяр-регулярный: например, язык палиндромов не является р-регулярным, потому что, интуитивно, когда вы прочитали первую половину слова, вам нужно иметь столько разных состояний, сколько есть возможных слов, потому что вам понадобится чтобы точно соответствовать этой первой половине со второй.

Таким образом, класс p-регулярных языков является строгим надмножеством обычных языков, которое несопоставимо с языками без контекста. На самом деле, кажется, что вы даже можете получить иерархию языков, различая p-регулярные языки на основе наименьшей степени полинома для которого они -регулярны. Нетрудно построить примеры, чтобы показать, что эта иерархия строгая; хотя я пока не очень хорошо понимаю взаимодействие между этим и альтернативным определением иерархии, которое также ограничило бы сложность вычисления .P A $P$$P$$A_n$

Мой вопрос: был ли этот класс, который я называю р-регулярным, и связанную с ним иерархию изучаться ранее? Если да, то где и под каким именем?

(Возможная связь с полевыми или потоковыми или онлайн-алгоритмами. В терминологии потоковых алгоритмов для задач распознавания языков меня интересует класс (или иерархия) языков, которые могут иметь детерминированные однопроходные алгоритмы распознавания, используя полиномиальное число состояний (таким образом, логарифмический объем памяти), но я не нашел определения этого класса в этой статье или в связанных с ней работах. Обратите внимание, однако, что в моей формулировке проблемы длина слова известна заранее , что менее естественно в контексте потоковой передачи: при потоковой передаче вы можете видеть это как бесконечный автомат, специальный символ «конца слова» и ограничение на то, что число достижимых состояний после чтения символов является полиномиальным по$n$$n$, Я думаю, что это различие имеет значение, возможный пример: язык бинарных слов, значение которых делится на их длину, что легко для фиксированной длины, но (я предполагаю) не может быть представлено бесконечным автоматом в предыдущем смысле, потому что нет идентификации можно сделать, если длина заранее не известна.)

(Мотивация для этого p-регулярного класса заключается в том, что некоторые проблемы, такие как вероятность членства в языке для вероятностных слов, кажутся PTIME не только тогда, когда язык является регулярным, но также и когда он является p-регулярным, и я пытаюсь точно определить, при каких обстоятельствах эти проблемы поддаются решению.)

вопрос, кажется, мало изучен (одна возможность - попытаться найти связь с «соседним» классом сложности, скажем, P / poly и т. д.); хотя здесь есть хотя бы одна ссылка, касающаяся этого:

• Языковые операции с регулярными выражениями полиномиального размера Gruber / Holzer

  В этой работе рассматриваются вопросы относительно того, в какой степени языковые операции, сохраняющие регулярность, влияют на сложность описания регулярных выражений. Определены некоторые языковые операции, которые выполнимы для регулярных выражений в том смысле, что результат операции может быть представлен как регулярное выражение полинома размера в операндах. Мы доказываем, что взятие частных языковых коэффициентов, в частности закрытий префиксов и суффиксов, из регулярного набора может привести к не более чем квадратичному увеличению требуемого размера выражения. Операция кругового сдвига может вызвать только кубическое увеличение размера, и в худшем случае может потребоваться, по меньшей мере, квадратичное раздувание.

$n$

• Определение скорости роста регулярного или контекстно-независимого языка за полиномиальное время (Гавриховский, Кригер, Рамперсад, Шаллит)

  Учитывая не зависящий от контекста язык L, мы можем проверить, имеет ли он полиномиальный или экспоненциальный рост за полиномиальное время. Более того, если он имеет полиномиальный рост, мы также можем найти точный порядок этого полинома за полиномиальное время.