Разделение множества точек на два оптимальных подмножества

Я хочу разделить набор точек на два подмножества одинакового размера так, чтобы сумма квадратов внутри кластера была минимальной. Можно предположить, что точки находятся в двумерном евклидовом пространстве. Я надеюсь на что-то более быстрое, чем обычный алгоритм кластеризации k-средних, учитывая, что k = d = 2. Может кто-нибудь указать мне в направлении хорошего алгоритма для этого?

Точное решение не требуется, если у нас есть хорошее приближение.

Спасибо!

Если вы настаиваете на точном разбиении, то вам нужно вычислить все сбалансированные разбиения набора точек на плоскости по линии (оптимальное разбиение - это разбиение Вороного, поэтому два набора точек разделены линией). Такие разделы известны как$k$-множествами. Самый быстрый алгоритм, известный в настоящее время для этой работы в$O(n^{4/3} \log n)$ для вычисления этих разделов в двойном [т.е. $k$Уровень набора $n$ линии, для $k=n/2$]. Когда у вас есть все возможные разделы, вам просто нужно проверить каждый из них. Используя стандартные приемы, это можно сделать за постоянное время для каждого раздела.

(Обновление: доказательство того, что оптимальный раздел реализуется $k$-установить для $k=n/2$не совсем тривиально. Я бы оставил это как милое упражнение для заинтересованного читателя. Подсказка: рассмотрите линию, проходящую через два оптимальных центра, и направление, перпендикулярное к нему.)

Если вам нет дела до точного решения, тогда более простым подходом будет использование $k$означает кластеризацию. Это приведет к$O( \epsilon^{-2} \log n)$ взвешенные точки в этом случае, с общим весом $n$, Затем вам просто нужно решить проблему с помощью взвешенного набора точек. Самым простым решением было бы создать набор подходящих местоположений для центров и проверить все пары на взвешенных точках. Конструкция coreset и создание центров-кандидатов описаны в этой статье:

http://sarielhp.org/p/03/kcoreset/