Нужно ли называть матричное умножение раз, чтобы найти коготь

Коготь - это . Тривиальный алгоритм обнаружит коготь за времени. Это можно сделать в , где - показатель быстрого умножения матриц следующим образом: возьмите подграф, индуцированный для каждой вершины , и найдите треугольник в его дополнение.$K_{1,3}$$O(n^4)$$O(n^{\omega+1})$$\omega$$N[v]$$v$

Насколько я знаю, эти основные алгоритмы известны только. Спинрад перечислил в своей книге «эффективные представления графов» обнаружение когтя за время как открытую проблему (8.3, стр. 103). Для нижней границы мы знаем, что алгоритм -времени будет подразумевать алгоритм времени для нахождения треугольника. Таким образом, мы можем рассматривать \ Omega (n ^ \ omega) как нижнюю границу.$o(n^{\omega+1})$$O(n^c)$$O(n^{\max{(c,2)}})$$\Omega(n^\omega)$

Вопрос:

1. Есть ли прогресс в этом. Или какой-либо прогресс в показе это невозможно?
2. Есть ли другие естественные проблемы с алгоритмами $O(n^{\omega+1})$ , которые являются лучшими?

Замечание:

1. Я явно прошу об обнаружении когтя вместо распознавания без когтей графов. Хотя алгоритм обычно решает оба, есть несколько исключений.
2. В «Справочнике алгоритмов и теоретической информатики» утверждается, что его можно найти за линейное время, но это была только опечатка (см. «Эффективное представление графа»).

Я думаю, что мы можем сделать немного лучше, чем для плотных графов, используя умножение прямоугольной матрицы. Аналогичная идея была использована Эйзенбрандом и Грандони («О сложности клики с фиксированным параметром и доминирующим множеством», Теоретическая компьютерная наука, том 326 (2004) 57–67) для обнаружения 4 клик.$O(n^{1+\omega})$

Пусть - граф, на котором мы хотим обнаружить существование когтя. Пусть множество (упорядоченных) пар вершин в . Рассмотрим следующую булеву матрицу размера: каждая строка индексируется некоторой , каждый столбец индексируется некоторой , и соответствующая запись равна единице тогда и только тогда, когда , и . Рассмотрим булеву матрицу произведение и транспонированной . Граф имеет коготь тогда и только тогда, когда он существует$G=(V,E)$$A$$V$$M$$|V|\times |A|$$u\in V$$(v,w)\in A$$\{u,v\}\in E$$\{v,w\}\in E$$\{u,w\}\notin E$$M$$M^T$$G$$\{u,v\}\notin E$ такой, что запись в строке, индексированной и столбце, индексированном равна единице.$MM^T$$u$$v$

Сложность этого алгоритма, по сути, заключается в сложности вычисления логического произведения матрицы матрицу , где обозначает количество вершин в графе. Известно, что такое матричное произведение может быть вычислено за время , что лучше, чем для наилучшей известной верхней границы . Конечно, если (как предполагалось), то оба подхода дают одинаковую сложность .$n\times n^2$$n^2\times n$$n$$O(n^{3.3})$$O(n^{1+\omega})$$\omega$$\omega=2$$O(n^3)$

Я не знаю, как избежать умножения на матриц, но вы можете проанализировать его таким образом, чтобы время было фактически меньшим. Этот трюк от$n$

Клокс, Тон; Крач, Дитер; Мюллер, Хайко (2000), «Эффективный поиск и подсчет малых индуцированных подграфов», Письма обработки информации 74 (3–4): 115–121, doi: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00047-8, MR 1761552.

Первое наблюдение заключается в том, что при умножении матриц матрицы на самом деле не , а где - степень каждой вершины, потому что то, что вы ищете, является ко-треугольником. в окрестности каждой вершины.$n\times n$$d\times d$$d$

Во-вторых, в графе без когтей каждая вершина должна иметь соседей. В противном случае множество соседей будет иметь слишком мало ребер, чтобы избежать добавления треугольника в дополнение. Поэтому, когда вы выполняете умножение матриц, вам нужно делать это только на матрицах размером а не .$O(\sqrt m)$$O(\sqrt m)$$n$

Кроме того, каждое ребро может вносить вклад в размер задачи умножения матриц только для двух вершин, ее конечных точек. Наихудший случай случается, когда для общего размера этих задач умножения матриц распределяется в подзадач размером каждая, что дает общую временную границу , улучшение для разреженных графов над границей упомянутое R B.$2m$$O(\sqrt m)$$O(\sqrt m)$$O(m^{(1+\omega)/2})$$O(nm^{\omega/2})$