Учитывая

Вот проблема с похожим вкусом к изучению хунт:

Входные данные: функция $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ , представленная оракулом членства, то есть оракулом, который дал $x$ , возвращает $f(x)$ .

Цель: Найти вложенный куб $S$ из $\{0,1\}^n$ с объемом $|S|=2^{n-k}$ такое, что $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$ . Мы предполагаем, что такой субкуб существует.

Легко получить алгоритм, который работает за время $n^{O(k)}$ и возвращает правильный ответ с вероятностью , испробовав все способов выбора вложенного куба и выбрав среднее значение в каждом из них.( 2 н ) $\ge 0.99$$(2n)^k$

Мне интересно найти алгоритм, который работает во времени . Как вариант, нижняя граница была бы отличной. Эта проблема похожа на изучение хунт, но я не вижу реальной связи между их вычислительной сложностью.$poly(n,2^k)$

Обновление: @ Томас ниже доказывает, что примерная сложность этой проблемы - . Тем не менее, интересной проблемой является вычислительная сложность проблемы.$poly(2^k,\log n)$

Изменить: для простоты можно предположить, что существует вложенный куб с $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ (обратите внимание на разрыв: мы ищем субкуб со средним значением $\ge 0.1$ .) Я почти уверен, что любое решение проблемы с разрывом также решит проблему без зазора.

Вот лучшая оценка сложности образца. (Хотя сложность вычислений все еще .)$n^k$

Теорема. Предположим, что существует субкуб размером 2 n - k такой, что | E x ∈ S [ f ( x ) ] | ≥ 0,12 . С помощью O ( 2 k ⋅ k ⋅ log n ) выборок мы можем с высокой вероятностью идентифицировать субкуб S ' размером 2 n - k такой, что | E x ∈ S ′ [ $S$$2^{n-k}$$|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$$O(2^k \cdot k \cdot \log n)$$S'$$2^{n-k}$ .$|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

Обратите внимание на небольшую потерю параметров ( является оптимальным по сравнению с гарантией 0,1 ).$0.12$$0.1$

Доказательство. Pick точек P ⊂ { 0 , 1 } п равномерно по случайному и запросу F при каждом х ∈ P .$m$$P \subset \{0,1\}^n$$f$$x \in P$

Зафиксируйте субкуб размером 2 n - k . У нас есть E [ | S ∩ P | ] = м 2 - к . По черновской границе P [ | S ∩ P | < m 2 - k - 1 ] ≤ 2 - Ω ( м 2 - k ) . Также P [ | E x ∈ S $S$$2^{n-k}$$\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

$$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$$ $$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$$

Объединением, объединенным над всеми вариантовS, мы имеемP[∀S| Ex∈S∩P[f(x)]-Ex∈S[f(x)]| ≤ε]≥1- (${n \choose k}2^k$$S$Таким образомвыбираят=O(2K/ε2⋅Kвойтип), мы можем обеспечить, чтобы с вероятностьюпо меньшей мере0,99, можно оценитьЕх∈S[F(х)]с точностьюεдля всех подкубовSиз размер2н-

$$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$$ $m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$$0.99$$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$$\varepsilon$$S$$2^{n-k}$,

Полагая , докажем теорему: выбираем субкуб с наибольшим | E x ∈ S ∩ P [ f ( x ) ] | с высокой вероятностью выполнит требования. QED$\varepsilon=0.01$$| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$