Я преподаю курс по структурам данных и в начале следующей недели расскажу о деревьях сплайнов. Я много раз читал статью о деревьях сплайнов и знаком с анализом и интуицией, стоящими за структурой данных. Тем не менее, я не могу найти твердую интуицию для потенциальной функции, которую Слеатор и Тарьян используют в своем анализе.

Анализ работает путем присвоения каждому элементу дерева произвольного веса , а затем установки размера s ( x ) узла равным сумме весов узлов в поддереве с корнем в x . Затем они берут лог этого значения, чтобы получить ранг r ( x ) узла, поэтому r ( x ) = log s ( x ) . Наконец, потенциальная функция дерева определяется как сумма рангов всех узлов.$w_i$$s(x)$$x$$r(x)$$r(x) = \log s(x)$

Я понимаю, что эта потенциальная функция работает правильно, и я могу следить за анализом, но я не понимаю, почему они выбрали бы этот потенциал. Идея назначить размер каждому узлу имеет смысл для меня, так как, если вы суммируете размеры, вы получите взвешенную длину пути дерева. Однако я не могу понять, почему они решили взять журналы весов, а затем суммировать их - я не вижу никаких естественных свойств дерева, которым это соответствует.

Соответствует ли потенциальная функция дерева сплайнов некоторому естественному свойству дерева? Есть ли какая-то особая причина, кроме «это работает», что они выбрали бы этот потенциал? (Мне особенно любопытно, потому что этот набор заметок, конечно, упоминает, что «анализ - это черная магия. [Не] идея, как обнаружить»)

Благодарность!

Как придумать потенциал суммы логов

Давайте рассмотрим алгоритм BST который для каждого доступа к элементу x переставляет только элементы в пути поиска P из x, называемого before-path, в некоторое дерево, называемое after-tree. Для любого элемента а , пусть с ( ) и с ' ( ) быть размером поддерева с корнем в до и после перегруппировки соответственно. Таким образом, s ( a ) и s ′ ( a ) могут отличаться, если a ∈ $A$$x$$P$$x$$a$$s(a)$$s'(a)$$a$$s(a)$$s'(a)$$a \in P$ .

Кроме того, $A$ только постоянно переставляет множество элементов в пути поиска в любой момент. Давайте назовем этот тип алгоритма «локальным» алгоритмом. Например, Splay Tree является локальным. Зигзаг, зигзаг и зигзаг перестраивает не более 3 элементов одновременно.

Теперь любой локальный алгоритм, который создает «много» листьев в последующем дереве, например, Splay Tree, имеет следующее приятное свойство.

Мы можем создать отображение такое, что$f: P \rightarrow P$

1. Линейно много , где s ′ ( f ( a ) ) ≤ s ( a ) / 2 .$a \in P$$s'(f(a)) \le s(a)/2$
2. Постоянно много , где s ′ ( f ( a ) ) может быть большим, но тривиально не более $a \in P$$s'(f(a))$$n$ .
3. Другие элементы , s ′ ( f ( a ) ) ≤ s ( a ) .$a \in P$$s'(f(a)) \le s(a)$

Мы можем увидеть это, развернув изменение пути поиска. Отображение на самом деле вполне естественно. Эта статья, Глобальный Геометрический Вид Splaying , точно показывает детали того, как увидеть вышеприведенное наблюдение.

Зная этот факт, очень естественно выбрать потенциал суммы логов. Потому что мы можем использовать потенциальное изменение элементов типа 1 для оплаты всей перестановки. Более того, для элементов другого типа мы должны платить за потенциальное изменение не более чем логарифмически. Следовательно, мы можем получить логарифм амортизированной стоимости.

Я думаю, что причина, по которой люди думают, что это «черная магия», заключается в том, что предыдущий анализ не «раскрывает» общее изменение пути поиска и позволяет увидеть, что действительно происходит за один шаг. Вместо этого они показывают изменение потенциала для каждого «локального преобразования», а затем показывают, что эти потенциальные изменения могут быть волшебным образом телескопированы.

PS В статье даже показано некоторое ограничение потенциала суммы логарифмов. То есть можно доказать выполнимость леммы доступа с помощью потенциала суммы логарифмов только для локального алгоритма.

Интерпретация суммы сумм бревен

Есть еще один способ определить потенциал BST в статье Георгакопулоса и МакКларкина, который по сути совпадает с потенциалом суммы логарифмов в статье Слеатора Тарьяна. Но это дает мне хорошую интуицию.

Теперь я переключаюсь на обозначения бумаги. Мы присваиваем вес каждому узлу u . Пусть W ( u ) - сумма веса поддерева u . (Это просто размер поддерева u , когда вес каждого узла равен единице.)$w(u)$$u$$W(u)$$u$$u$

Теперь, вместо того, чтобы определять ранг на узлах, мы определяем ранг для ребер, который они называют фактором прогресса .

$S$

$(u,v)$$u$$v$$W(u)/W(v)$

Заметьте, что это почти равный потенциал Слеатора Тарьяна, и он аддитивен на путях.

редактировать: оказывается, что это альтернативное определение и интуиция за ним были описаны давно Kurt Mehlhorn. См. Его книгу «Структуры данных и алгоритмы», том I, раздел III. 6.1.2 Splay Trees, стр. 263 - 274.