Подразумевает ли теорема Каннана, что NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Я читал статью Бермана и Гомера «Суперполиномиальные цепи, почти разреженные оракулы и экспоненциальная иерархия» .

В нижней части страницы 2 они отмечают, что результаты Каннана подразумевают, что $NEXPTIME^{NP}$ не имеет цепей полиномиального размера. Я знаю, что в экспоненциальной иерархии времени $NEXPTIME^{NP}$ является просто $\Sigma_2EXP$ , и я также знаю, что результат состоит в том, что $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ такое, что $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$

— Жиль "ТАК - прекрати быть злым"
источник

Возможно, это больше подходит для cstheory.se.

— Юваль Фильмус

@YuvalFilmus Хорошо, спасибо. Если модератор считает, что он более подходит для cstheory.se, то смело перемещайте его.

Это также в настоящее время относится к набору задач cs354 ...: - / ... Я недвусмысленно дал указание студентам не просить Интернет, поэтому «Лотарингии» лучше надеяться, что они не посещают мой класс.

— Райан Уильямс

@ Сашо, я думаю, было бы хорошо сделать это, по крайней мере, до истечения срока выполнения задания.

— Каве

@ Турбо Думаю, я мог бы также надеяться, что это не из-за чьей-то проблемы, поставленной на данный момент.

— Сашо Николов

Эта версия ответа включает в себя отзыв Эмиля Йержабека.

Насколько я могу видеть, основной поворот заключается в том, что в экспоненциальной сложности схемы. В частности, исправьте двоичное кодирование логических схем и определите как язык, определенный $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ не определяется ни одной схемой размером , и $2^{n/2}$

любой язык который предшествует лексикографически, определяется некоторой схемой размером не более , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

где обозначение означает срез . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Чтобы сделать это за экспоненциальное время с , вы можете использовать бинарный поиск по подмножествам (представьте их как битные целые числа), чтобы найти первое такой набор, который имеет сложность схемы . Вы просто сохраняете текущее предположение о и используете оракула, чтобы проверить, существует ли сложности схемы, по крайней мере, . Так как это дает машину в , которая записывает весь срез , очевидно , мы можем также принять решение о членстве в , и, следовательно, в . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Это очень похоже на аргументацию Каннана, но увеличено и оптимизировано, чтобы использовать экспоненциальное время. Тогда вы сможете использовать уменьшенную версию теоремы Карпа-Липтона, чтобы показать, что если , то , и вы можете провести анализ случая в доказательстве Каннана. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Сашо Николов
источник

AFAICS ваше описание дает непосредственно язык , а не .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Эмиль Йержабек

@ EmilJeřábek Мой мозг никогда не мог обрабатывать оракулов. I квантификатор глубины четыре: находится в если существует схема размера такая, что и [для всех схем размером существует слово для которого ] и [для всех предшествующих в лексическом порядке существует схема размером не более st для всех

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]. Кажется, это четвертый уровень экспоненциальной иерархии. Что это в устной записи?

— Сашо Николов

Во-первых, «существует слово ...» и аналогичные универсальные квантификаторы в конце не учитываются, поскольку они имеют линейный размер, поэтому их можно вычислить детерминистически в экспоненциальном времени. Во-вторых, самый внешний квантификатор можно моделировать детерминистически в экспоненциальном времени с помощью бинарного поиска.

— Эмиль Йержабек

Таким образом, лексикографически первая булева функция на входах, которая не имеет цепей размера может быть найдена с помощью бинарного поиска по экспоненте с оракулом для предиката «существует функция лексикографически предшествующая это не вычисляется схемой размера ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Эмиль Йержабек

@SashoNikolov Так что это все еще работает, так как . Однако мы не можем использовать, если тогда применить Karp-Lipton в cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Таким образом, у нас есть и . Это не работает для .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....