Проводилось ли какое-либо исследование

25

Хорошо известной характеристикой экземпляров -SAT является отношение числа предложений к числу переменных , т. Е. Частное . Для каждого существует пороговое значение st \ для , большинство случаев выполнимо, а для большинство случаев неудовлетворительно. Было проведено много исследований для задач, где , и для задач с достаточно малым , $k$ $m$ $n$ $\rho = m/n$ $k$ $\alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho \gg \alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho$ $k$ -SAT становится разрешимым за полиномиальное время. См., Например, обзорную статью Димитриса Ахлиопта из «Справочника по удовлетворенности» ( PDF ).

Мне интересно, была ли проделана какая-либо работа в другом направлении (где ), например, можем ли мы как-то трансформировать проблему из CNF в DNF в этом случае, чтобы решить ее быстро. $\rho \gg \alpha$

Итак, по существу, Что известно относительно SAT, где ? $\rho = m/n \gg \alpha$

— Мэтт Грофф
источник

10

Стоит отметить, что

является функцией от

.

α

$\alpha$

k

$k$

— Гек Беннетт

может ли быть какое-то преобразование, которое показывает некоторую симметрию между двумя областями по обе стороны от точки перехода? кажется правдоподобным во всяком случае, вопрос довольно широкий в том смысле, что существует много эмпирических / теоретических исследований точки перехода, которая не фокусируется столько на одной "стороне" или другой ...

— vzn

26

Да, было. Моше Варди недавно выступил с докладом на семинаре BIRS по теоретическим основам прикладного SAT-решения :

Моше Варди, Фазовые переходы и вычислительная сложность , 2014.

(Моше представляет график их эксперимента немного позже минуты 14:30 в своем выступлении, связанном выше.)

Обозначим через коэффициент клаузулы. По мере того, как значение превышает пороговое значение, проблема становится проще для существующих решателей SAT, но не так легко, как это было до достижения порогового значения. По мере приближения к порогу снизу уровень сложности очень резко возрастает. После порога проблема становится легче по сравнению с порогом, но снижение сложности намного менее круто. $\rho$ $\rho$

Обозначим через сложность задачи относительно (в их эксперименте - это среднее время работы GRASP на случайных 3SAT-экземплярах с отношением предложений ). Моше предполагает, что изменяется следующим образом: $T_\rho(n)$ $n$ $T_\rho(n)$ $\rho$ $T_\rho(n)$

порог: является полиномом от , $\rho \ll$ $T_\rho(n)$ $n$
находится вблизи порога: экспоненциально по , $\rho$ $T_\rho(n)$ $n$
порог: остается экспоненциальным по но показатель степени уменьшается сувеличением . $\rho \gg$ $T_\rho(n)$ $n$ $\rho$

— Кава
источник

1

Следует отметить, что приведенные выше результаты являются экспериментальными (примерно с 2000 года) с использованием специального SAT-решателя (GRASP). Но теоретически известно, что при достаточно большом

(скажем,

) даже разрешение имеет небольшие опровержения неудовлетворенности. И, как писал ранее Ян Йоханнсем, опровергнуть 3-SAT легко (в среднем случае) уже при

ρ

$\rho$

Ω (n)

$\Omega(n)$

.

ρ = Ω (\sqrt{n})

$\rho=\Omega(\sqrt{n})$

— Иддо Цамерет

19

$k\text-\mathsf{SAT}$

Для таких формул показаны нижние оценки длины опровержений в разрешении и более сильные пропозициональные системы доказательств, начиная с статьи « Много сложных примеров для разрешения » Хватала и Семереди. Эти нижние границы разрешения означают более низкие границы времени выполнения SAT-решателей на основе DPLL и CDCL. Самые сильные нижние оценки относятся к исчислению полиномов благодаря Бен-Сассону и Импальяццо .
Для таких формул существуют эффективные детерминированные алгоритмы для сертификации неудовлетворенности, то есть алгоритмы, которые либо выводят «UNSAT», либо «Don't Know», где ответ «UNSAT» должен быть правильным, и он должен выводить «UNSAT» в неудовлетворительные формулы с высокой вероятностью. Самые сильные результаты в этом направлении связаны с Фейге и Офеком .

— Ян Йоханнсен
источник

k

$k$

m / n \geq c_{1}

$m/n \ge c_1$

m / n \geq c_{2} n^{1 / 2}

$m/n \ge c_2n^{1/2}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

c_{1} n

$c_1n$

c_{2} n^{3 / 2}

$c_2n^{3/2}$

2

Вот более старое, но актуальное исследование / ракурс ведущего эксперта.

Скованность ножа лезвием Уолша 1998

$\kappa$

$\kappa$ $\kappa$

$m/n \gg\alpha$

— ВЗН
источник

с другой стороны, предположительно возможно генерировать отдельные «жесткие» экземпляры любого m / n-«измерения», просто они менее статистически вероятны вне фазового перехода «P-NP-P».

— vzn