Можем ли мы отсортировать без перестановок?

Хорошо известно , что сортировка перестановок транспонирования в , так как минимальное число транспозиций требуется для сортировки л ∈ S п точно я п V ( л ) = { ( я , J ) ∈ [ п ] × [ N ] : i < j  и  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$, Это понятие «числа инверсии» находит применение и в алгебраической комбинаторике, например, оно позволяет наделить структурой решетки, называемой пермутоэдром и основанной на слабом порядке Брюа.$S_n$

Это может быть полезным, чтобы переформулировать проблему в теоретико-групповых терминах. Нам дана группа с набором генераторов Γ и отображением i G : Γ ∗ → G , а также другая группа H, в которой G действует транзитивно, и мы хотим решить следующую задачу: для h ∈ H найти минимальную длину w ∈ Γ ∗ такой, что i G ( w ) . h = 1 ч . В случае перестановки G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ и Γ - множество транспозиций.$G = H = S_n$$\Gamma$

Вопрос: есть ли другие примеры этой проблемы, которые допускают эффективные алгоритмы?

$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Марк Джеррум: сложность поиска последовательностей генератора минимальной длины. Теор. Вычи. Sci. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$