Должны ли сокращения сделать нас более или менее оптимистичными в отношении возможности решения проблемы?

Мне кажется, что большинство теоретиков сложности обычно верят в следующее философское правило:

Если мы не можем найти эффективный алгоритм для задачи и можем свести проблему A к проблеме B , то, вероятно, эффективного алгоритма для проблемы B тоже нет.$A$$A$$B$$B$

Вот почему, например, когда новая проблема доказана NP-полной , мы просто файл его прочь , как «слишком сложно» , а не волнуюсь о новом подходе (проблема ) , что может , наконец , показать , P = N P .$B$$P = NP$

Я обсуждал это с аспирантом в другой научной области. Она нашла эту идею чрезвычайно нелогичной. Ее аналогия:

Вы исследователь, ищущий мост между континентами Северной Америки и Азии. В течение многих месяцев вы пытались и не смогли найти сухопутный мост из материковой части Соединенных Штатов в Азию. Затем вы обнаружите, что материковая часть США соединена сушей с аляскинской областью. Вы понимаете, что сухопутный мост от Аляски до Азии подразумевал бы сухопутный мост от материка США до Азии, которого, как вы уверены, не существует. Так что вы не тратите время на изучение Аляски; ты просто иди домой.

Наше предыдущее философское правило звучит довольно глупо в этом контексте. Я не мог придумать хорошего опровержения! Итак, я передаю это вам, ребята: почему мы должны рассматривать уменьшение как усложнение проблемы B, а не облегчение проблемы A ?$A \to B$$B$$A$

Я думаю, что это очень хороший вопрос. Чтобы ответить на него, мы должны понять, что:

• не все сокращения одинаковы,
• чтобы чувствовать оптимизм, нам нужно научиться чему-то действительно полезному.

Как правило, всякий раз, когда мы обнаруживаем нетривиальное уменьшение , оно попадает в одну из следующих категорий:$A \to B$

1. Мы узнали что-то полезное о проблеме А (и ничего о проблеме Б).
2. Мы узнали что-то обескураживающее о проблеме B (и ничего о проблеме A).

Несколько точнее, эти два случая можно охарактеризовать следующим образом:

1. Мы обнаружили, что проблема A имеет некоторую скрытую структуру, которая позволяет разработать новый, умный алгоритм для решения проблемы A. Нам просто нужно знать, как решить проблему B.

2. Мы поняли, что в некоторых особых случаях проблема B в основном представляет собой скрытую проблему А. Теперь мы можем видеть, что любой алгоритм для решения задачи B должен правильно решать хотя бы эти частные случаи; и решение этих особых случаев по существу эквивалентно решению проблемы А. Мы вернулись на круги своя: чтобы добиться какого-либо прогресса в решении проблемы В, нам нужно сначала добиться некоторого прогресса в решении проблемы А.

Сокращения типа 1 распространены в контексте положительных результатов, и это, безусловно, веские причины для оптимизма.

Однако, если вы рассмотрите снижение твердости, с которым мы сталкиваемся в контексте, например, доказательств твердости NP, они почти всегда имеют тип 2.

Обратите внимание, что даже если вы ничего не знаете о вычислительной сложности задачи A или проблемы B, вы, тем не менее, можете сказать, относится ли ваше сокращение к типу 1 или типу 2. Следовательно, нам не нужно верить, например, в P ≠ NP для определить, должны ли мы чувствовать себя оптимистами или пессимистами. Мы можем просто увидеть, что мы узнали благодаря сокращению.

Чего не хватает в аналогии, так это некоторого представления об относительных расстояниях. Давайте заменим Аляску в нашей аналогии с луной:

Вы исследователь, ищущий мост между континентами Северной Америки и Азии. В течение многих месяцев вы пытались и не смогли найти сухопутный мост из материковой части Соединенных Штатов в Азию. Затем вы обнаружите, что континентальная часть США соединена сушей с Луной. Вы уже уверены, что Луна находится на большом расстоянии от Азии, поэтому теперь вы можете быть уверены, что Северная Америка также находится на большом расстоянии от Азии из-за неравенства треугольника.

Неверно, что мы всегда рассматриваем теоремы редукции как утверждения о твердости. Например, в алгоритмах мы часто сводим задачу к LP и SDP для их решения. Они не интерпретируются как результаты твердости, а алгоритмические результаты. Однако, хотя они являются технически сокращениями, мы часто не называем их таковыми. Под сокращением мы обычно подразумеваем сокращение к некоторой (NP-) сложной проблеме.

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$, Большинство исследователей считают более вероятным, что P не равно NP, и даже предполагают, что SAT требует экспоненциального времени. Другими словами, САТ считается очень сложным. Если вы принимаете эти предположения, то вполне разумно рассматривать сокращения, доказывающие универсальность проблемы для NP, как проблемы, которая является сложной. (Почему исследователи считают, что P не равно NP, скорее всего, другая проблема, в теоретических блогах было несколько сообщений об этом.)

Частично причина, по которой мы заменяем нижнюю границу результатами универсальности (т. Е. Происходит сокращение каждой проблемы в классе до проблемы), заключается в том, что мы не можем доказать хорошие общие нижние оценки (это согласуется с текущим состоянием знаний что SAT может быть решен за линейное детерминированное время).

На самом деле, открытие Аляски имело бы обратный эффект, по крайней мере, на первый взгляд. Так как она простирается так далеко на запад, было бы заставить людей думать , что, эй, может быть, это сухопутный мост, в конце концов (аналогия бытия, эй, может быть , P  =  NP , так как этот новый NP -полным проблема кажется таким хорошим кандидатом для имея решение за полиномиальное время). Однако, как только Аляска будет тщательно исследована и не найден наземный мост, люди, вероятно, будут более убеждены, чем раньше, что Азия и Америка разделены.

этот вопрос вводит конкретную аналогию / метафору, которая не очень часто используется экспертами, и фокусируется только на P / NP и не упоминает никаких других классов сложности, тогда как эксперты склонны рассматривать ее как большую взаимосвязанную совокупность сущностей, как в замечательной диаграмме, созданной Купербергом. , было бы неплохо составить большой список аналогий классов сложности, таких аналогий много. в нем говорится о «отсеивании» проблем, доказавших свою полноту NP, и «волнении по поводу новых подходов».

Можно понять, что было начальное «возбуждение» при открытии полного класса NP, но некоторое «возбуждение» исчезло после более чем четырех десятилетий напряженных усилий, направленных на то, чтобы доказать, что P ≠ NP, похоже, никуда не обещал, и некоторые исследователи считают, что мы не ближе. История полна исследователей, которые провели долгие годы, работая над проблемами, без какого-либо или значительного прогресса, иногда с последующим сожалением. Таким образом, NP complete может служить (заимствуя аналогию Ааронсона) как своего рода «электрический забор», предупреждение / предостережение о том, что не стоит слишком увлекаться попытками (здесь, в буквальном смысле, во многих отношениях) «неразрешимых» проблем.

Это правда, что есть важный аспект «каталогизации» NP полных проблем, который все еще продолжается. Тем не менее, продолжаются масштабные «мелкозернистые» исследования по ключевым проблемам полной NP (SAT, обнаружение кликов и т. д.). (на самом деле очень похожее явление возникает с неразрешимыми проблемами: однажды доказано, что неразрешимы, как если бы они управлялись «ничейной землей» для дальнейшего исследования.)

так что все NP-полные задачи доказаны эквивалентными, насколько это применимо в современной теории, и это иногда проявляется в таких поразительных догадках, как Берман-Хартманис изоморфизме. Исследователи надеются, что когда-нибудь это изменится.

этот вопрос обозначен soft-questionвеской причиной. вы не найдете серьезных ученых, много обсуждающих аналогии в своих статьях, которые влекут за собой популярность , предпочитая вместо этого сосредоточиться на математической точности / строгости (и как подчеркивается в руководящих принципах коммуникации для этой группы). тем не менее, здесь есть некоторая ценность для обучения и общения с посторонними / мирянами.

Вот несколько «противоположностей» для мирян наряду с «исследованиями» к понятиям. это может быть сделано в более длинный список.

• в вопросе есть аналогия территорий. но имеет больше смысла думать об основных областях теории сложности, в том числе в известных классах, как terra incognita . другими словами, есть область P, пересекающая NP. и P, и NP достаточно хорошо поняты, но неизвестно, пуста ли область P ⋂ NP-hard (P пересекается с NP-hard).

• Ааронсон недавно дал метафору двух явно разных типов видов лягушек, которые никогда не смешиваются для P / NP. он также сослался на «невидимый электрический забор» между ними.

• физика элементарных частиц изучает стандартную модель физика изучает состав частиц так же, как теория сложности изучает состав классов сложности. в физике существует некоторая неопределенность относительно того, как одни частицы порождают другие («установление границ») так же, как в теории сложности.

• «Зоопарк сложности» , это как много экзотических животных, которые имеют разные возможности, некоторые маленькие / слабые и некоторые большие / мощные.

• Классы сложности подобны плавному пространственно-временному континууму, как видно из теорем иерархии Времени / Пространства с ключевыми «точками перехода» (что на удивление весьма глубоко аналогично фазовым переходам физической материи) между различными состояниями.

• машина Тьюринга - это машина с «движущимися частями», и машины выполняют работу, которая эквивалентна измерениям энергии , и они имеют измерения времени / пространства . поэтому классы сложности можно рассматривать как «энергию», связанную с преобразованиями ввода-вывода черного ящика.

• Есть много возможных аналогов из истории математики, то есть проблема возведения в квадрат круга, нахождения алгебраических решений для уравнения квинтики и так далее.

• Миры Импальяно

• Новая книга Fortnows содержит много научно-популярных аналогий для майнинга.

• Шифрование / дешифрование: Тьюринг отлично работал над этим во время Второй мировой войны, и многие теоремы, доказывающие различия в классах сложности, могут показаться аналогичными проблемам дешифрования. это становится более ясным с бумагами типа Natural Proofs, где разделение классов сложности напрямую связано с «ломанием» генераторов псевдослучайных чисел.

• Сжатие / распаковка: разные классы сложности допускают / представляют разные объемы сжатия данных. например, предположим, что P / poly содержит NP. это означало бы, что существуют «меньшие» объекты (а именно схемы), которые могут «кодировать» «большие» задачи завершения NP, то есть большие (данные) структуры могут эффективно «сжиматься» в меньшие (данные) структуры.

• По аналогии с зоопарком и животными, в теории сложности есть сильный Слепой и слон . поле все еще, по-видимому / возможно, находится на более ранних стадиях очень длинной дуги (это не неправдоподобно или неслыханно по сравнению с другими математическими полями, которые охватывают века или даже тысячелетия), и многие знания можно рассматривать как частичные, непересекающиеся и фрагментирован.

Короче говоря, вопрос касается «оптимизма, связанного с сокращениями». ученые обычно воздерживаются от эмоций или даже смеются над ними время от времени в их чисто логическом поиске. в этой области существует баланс как долгосрочного пессимизма, так и осторожного оптимизма, и, хотя есть место для неформальности, все серьезные исследователи должны стремиться к беспристрастности в своих профессиональных установках, что является частью описания работы. Понятно, что акцент делается на маленьких победах и постепенности, а не на том, чтобы «увлекаться».