Какие свойства плоских графов обобщают для более высокой размерности / гиперграфов?

Плоский граф представляет собой график , который может быть встроен в плоскости, без пересечения ребер.

Пусть будет к -равномерному-Гиперграфу, т.е. гиперграфа, что вся его гиперребра имеет размер к.$G=(X,E)$$k$

Была проделана некоторая работа по встраиванию гиперграфов в плоскость (в контексте кластеризации или какого-либо другого приложения), но часто данные просто не могут быть встроены в плоскость. Решением может быть либо заставить его с некоторой потерей, либо встроить его в более высокое измерение, как я предлагаю здесь:

Естественным расширением планарности (по крайней мере IMO) является « простое вложение» (есть ли другое известное название для него?) В G : вложение M : X → R k , такое, что существуют поверхности, которые соединяют все вершины каждого гипергиба, и они не пересекаются, за исключением конечных точек.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Подумайте об аналоге в 2D, где каждая поверхность - это край, который вы можете нарисовать так, как вам нравится).

Вот пример правильного 3-простого вложения 3-равномерного гиперграфа. (Каждая вершина окрашена гиперэгезиями, в которых она содержится, и каждая грань представляет гиперэдж).

Другим примером 3-простого графа является полный 3-равномерный гиперграф на 5 вершинах . Чтобы увидеть это, просто возьмите 4 точки в R 3, которые не лежат на 2D-плоскости, создайте треугольную пирамиду (их выпуклый корпус) и поместите пятую точку в центре пирамиды, соединяя ее с другими вершинами.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Точно так же кажется, что полный 3-равномерный гиперграф на 6 вершинах не имеет 3-простого вложения.

Есть несколько очень полезных свойств плоских графов, которые позволяют улучшить алгоритмы для сложных задач, когда граф плоский. К сожалению, данные часто не являются плоскими, хотя иногда они имеют низкую размерность. Я думаю, что понимание того, какие свойства плоских графов обобщаются, поможет нам выяснить, какие алгоритмы можно адаптировать для более высокой размерности с помощью того же инструмента.

Примером свойства, которое может быть полезно, является теорема Фари, которая предполагает, что каждый планарный граф может быть встроен таким образом, что все его ребра являются отрезками прямых линий.

$k$

Есть ли другие свойства, которые можно обобщить? например, можно ли как-нибудь обобщить формулу Эйлера для плоских графов на более высокую размерность? (хотя на данный момент я не уверен, что бы это означало).

Как первое замечание, вы, кажется, сосредотачиваетесь на гиперграфах, но я думаю, что большая часть литературы о внедрении гиперграфов предпочитает работать с симплициальными комплексами. Хорошая ссылка на эти вопросы - это статья Матоусека, Тансера и Вагнера.

Справедлива ли теорема Фари в более высоком измерении?

Ответ - нет.

На самом деле существует три различных понятия встраиваемости: с прямыми, кусочно-линейными и непрерывными (гипер) -границами. В самолете все они совпадают, но в целом они не совпадают. Что касается линейных вложений, первый контрпример приведен Бремом.

Брем, U. (1983). Неполиэдральная триангулированная полоса Мёбиуса. Proc. Amer. Математика Soc., 89 (3), 519–522. DOI: 10,2307 / 2045508

и несколько примеров последовали с использованием результатов теории матроидов.

О разнице между PL и топологическими вложениями это следует из общих контрпримеров, возникающих из Hauptvermutung : в измерениях 5 и более существуют топологические сферы, которые не допускают кусочно-линейную структуру

Есть ли другие свойства, которые можно обобщить? например, можно ли как-нибудь обобщить формулу Эйлера для плоских графов на более высокую размерность?

$k$

Точно так же кажется, что полный 3-гиперграф на 6 вершинах не имеет 3-простого вложения.

Действительно, это является следствием препятствия Ван Кампена-Флореса. Это объясняется очень подробно и ясно в книге Матоусека «Использование теоремы Борсука-Улама».

Ой ой. Вы хотите быть очень, очень осторожным. Контактные графы выпуклых многогранников в 3d может реализовать любой граф. Удивительно, но клика может быть реализована с помощью n многогранников, которые являются n вращаемыми и переведенными копиями одного и того же многогранника (уму непостижимо). Смотрите эту статью:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Это уже подразумевает, что вы можете кодировать довольно неприятные графы как графы пересечений треугольников в 3d. Смотрите раздел 4 этого документа:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

Кстати, я заинтересован в аналогичной версии вашей проблемы, пытаясь понять, как ведет себя геометрический граф пересечений ...

Теорема Шнидера гласит, что граф является плоским, если его множество инцидентности имеет размерность не более 3. Он был расширен Мендесом до произвольных симплициальных комплексов (см. «Геометрическая реализация симплициальных комплексов», Рисование графа 1999: 323-332). Как ни странно, есть гораздо более старая статья с очень похожим названием «Геометрическая реализация полумаллициального комплекса», но я подозреваю, что это другая тема.

Очень важное свойство: двойственность ширины дерева.

например, посмотрите на: ширину дерева гиперграфов и двойственность поверхности Фредерика Мазоита,

Резюме следующим образом:

В Graph Minors III Робертсон и Сеймур пишут: «Кажется, что ширина дерева плоского графа и ширина его геометрического двойника примерно равны, мы действительно убедились, что они различаются максимум на единицу». Они никогда не давали доказательств этого. В этой статье мы докажем обобщение этого утверждения для вложения гиперграфов на общие поверхности и докажем, что наша оценка плотна.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf