Сколько экземпляров 3-SAT является удовлетворительным?

28

Рассмотрим задачу 3-SAT для n переменных. Количество возможных отдельных предложений:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Количество проблемных экземпляров есть число всех подмножеств множества возможных положений: . Тривиально, для каждого существует хотя бы один выполнимый экземпляр и один неудовлетворительный экземпляр. Можно ли рассчитать или хотя бы оценить число выполнимых экземпляров для любого данного n? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Антонио Валерио Мицели-Бароне
источник

См. Также связанный вопрос cstheory.stackexchange.com/q/14953

— Саламон

Не могли бы вы объяснить, как получить формулу счета? Где же 3! откуда и т.д?

— Ян Кинг Инь

Другой вопрос новичка: если общее количество конфигураций (т. Е. Назначений истинности) равно

, это означает, что многие назначения истинности не могут быть выражены ни одним проблемным экземпляром. Насколько мне известно, это противоречит тому, что логические формулы являются полными в том смысле, что они могут выражать любую таблицу истинности. В чем тут подвох?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Ян Кинг Инь

27

Долгая история работы над фазовыми переходами в SAT показала, что для любого фиксированного существует порог, параметризованный отношением числа предложений к который решает выполнимость. Грубо говоря, если отношение меньше 4,2, то с подавляющей вероятностью экземпляр является выполнимым (и, таким образом, выполнима огромная доля числа экземпляров с этими множеством предложений и переменных). Если соотношение немного выше 4,2, то имеет место обратное - подавляющая часть случаев неудовлетворительна. $n$ $n$

Ссылок здесь слишком много, чтобы ссылаться на них: одним из источников информации является книга Мезарда и Монтанари . Если у кого-то есть источники для опросов и т. Д. По этой теме, они могут опубликовать его в комментариях или отредактировать этот ответ (я сделаю это CW)

Ссылки:
- Achlioptas обзор
- Где действительно трудные проблемы
- Доработка фазового перехода в комбинаторном поиске

— Суреш Венкат
источник

Это очень интересно. Какова "подавляющая вероятность"? Это что-то вроде 75% или 99,9999%?

— Филипп Уайт

Я не помню, если честно. он параметризован расстоянием отношения от точки переключения и действует как сигмоид (поэтому он очень быстро увеличивается до 1). Связанные опросы, вероятно, имеют больше деталей

— Суреш Венкат

1

k

$k$

17

$2^{|C|}$

$2^{(7/8)|C|}$

$2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Магнус Вальстрём
источник

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$ тогда эти случаи были либо однозначно удовлетворительными, либо неудовлетворительными. Я не припоминаю вывод для 3-SAT в верхней части моей головы. Хорошо

— Тайфун

4

Этот ответ касается только темпов роста числа удовлетворяемых случаев.

$A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник