Естественные преобразования и параметричность

В теоремах бесплатно! Вадлер говорит, что характеристика параметричности может быть выражена в терминах слабых естественных преобразований, и это будет предметом дальнейшей статьи. На какую бумагу он ссылается?

Я знаю, что категорический подход к параметричности использует динатуральные преобразования, как в Функториальном полиморфизме Бейнбриджа, Фрейда, Щедрова и П. Дж. Скотта. Какова связь между слабым естественным преобразованием и формулировками параметрического преобразования в естественном виде?

reference-request ct.category-theory parametricity

— Sonat
источник

Я почти боюсь сделать этот комментарий, но я признаюсь, что я не понимаю никаких технических слов в этом вопросе. Можно ли добавить несколько ссылок на определения для этого (ужасно) не эксперта?

— Суреш Венкат

Похоже, работа для @UdayReddy.

— Дэйв Кларк,

Насколько я знаю, статья упоминается в теоремах бесплатно! (к сожалению) никогда не был написан. Я почти уверен, что современное понимание параметричности с точки зрения теории категорий лучше всего отражено в категориях Scones и запятых . Смотрите, например, Mitchell & Scedrov и этот пост n-Category Café.

— Коди,

Суреш, извините за не предоставление соответствующих ссылок. Коди, спасибо за редактирование поста и упоминание лепешек и запятых.

— сонат

К сожалению, замечание Уодлера слишком загадочно, чтобы я мог сказать, какое использование он хотел использовать для «слабых естественных преобразований». Вот предположение. Квадраты, сохраняющие отношения, часто можно преобразовать в слабые коммутативные квадраты. Так они писались в старых статьях / книгах по теории автоматов. См. Пункт 1.2 в моих заметках о полугруппах . Чтобы делать подобные вещи, вы должны смешивать отношения и морфизмы и делать вид, что они одинаковы. Я также не уверен, что он покупает что-то новое. Это просто уродливая запись для того же, что и сохранение отношений.

Пожалуйста, не стесняйтесь исследовать связь, но я не уверен, что вы найдете что-то новое, сделав это.

— Удай Редди
источник

Большое спасибо за ссылку. Формулировка в пункте 1.2 все еще является теоретической для меня. Как вы говорите о включении? Предполагаете ли вы, что категория является аллегорией или имеет топосоподобные свойства? Если это переосмысление слабых естественных преобразований, что является основной 2-категорией? Я также прочитал часть «Категоризация», но не смог найти ничего о слабых естественных преобразованиях.

— сонат

x \to y

$x \to y$

x \leq y

$x \leq y$

f \to g

$f \to g$

f \leq g

$f \leq g$

R \subseteq S : Rel (A, B)

$R \subseteq S : \textbf{Rel}(A,B)$

— Удай Редди

О, так что категория фиксирована! Я думал, что Вадлер имел в виду более общую и абстрактную формулировку, которая имеет смысл в определенном классе категорий, содержащих Rel как особый (и несколько тривиальный) случай. Если мы работаем только в Rel, нет смысла вводить более высокую, но вырожденную структуру. Теперь я понимаю ваш оригинальный ответ.

— сонат

@ SonatSüer: Если вас интересуют обобщения, стандартный способ обобщения отношений на категории, отличные от Set, заключается в том, чтобы рассматривать их как «совместно монические промежутки». Вы могли бы получить обогащенную по предзаказу категорию вместо обогащенной, но 2-категоричная структура все та же.

— Удай Редди

@ SonatSüer: И, если вы действительно заинтересованы в правильной аксиоматической теории, которая охватывает все, что мы знаем, я могу отослать вас к нашей недавней статье « Логические отношения и параметричность - программа Рейнольдса» .

— Удай Редди