Вычисление транзитивного оракула завершения / существования пути

Здесь было несколько вопросов ( 1 , 2 , 3 ) о транзитивном завершении, которые заставили меня задуматься, возможно ли что-то подобное:

Предположим, мы получили входной ориентированный граф $G$ и хотел бы ответить на запросы типа "$(u,v)\in G^+$? ", т.е. спрашивает, существует ли ребро между двумя вершинами в транзитивном завершении графа $G$? (эквивалентно, "есть ли путь от$u$ в $v$ в $G$? ").

Предположим, что дано $G$ вам разрешено выполнять предварительную обработку во времени $f(n,m)$ а затем требуется ответить на запросы вовремя $g(n,m)$,

Очевидно, если $f=0$ (т.е. никакая предварительная обработка не разрешена), лучшее, что вы можете сделать, это ответить на запрос вовремя $g(n)=\Omega(n+m)$, (запустить DFS из$u$ в $v$ и верните true, если существует путь).

Другой тривиальный результат заключается в том, что если $f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$Вы можете вычислить транзитивное замыкание и затем ответить на вопросы в $O(1)$,

Как насчет чего-то посередине? Если вам позволят, скажем$f=n^2$ время предварительной обработки, вы можете отвечать на запросы быстрее, чем $O(m+n)$? Может быть, улучшить это, чтобы$O(n)$?

Другой вариант: предположим, у вас есть $poly(n,m)$ время предварительной обработки, но только $o(n^2)$ пространство, можете ли вы использовать предварительную обработку, чтобы ответить на запросы более эффективно, чем $O(n+m)$?

Можем ли мы вообще сказать что-нибудь о $f,g$ компромисс, который позволяет отвечать на такие запросы?

Несколько похожая структура компромисса рассматривается в системах GPS, где хранение полной таблицы маршрутизации всех парных расстояний между местоположениями невозможно, поэтому используется идея оракулов расстояния, в которой хранится неполная таблица, но допускается значительное ускорение запросов при вычислении расстояния целого график (обычно дает только приблизительное расстояние между точками).

Компактные оракулы достижимости существуют для плоских графиков,

Mikkel Thorup: компактные оракулы для достижимости и приблизительных расстояний в планарных орграфах . J. ACM 51 (6): 993-1024 (2004)

но "трудно" для общих графов (даже разреженных графов)

Михай Патраску: объединение ландшафта клеточных зондов . SIAM J. Comput. 40 (3): 827-847 (2011)

Тем не менее, существует алгоритм, который может вычислять метки, близкие к оптимальным

Эдит Коэн, Эран Гальперин, Хаим Каплан, Ури Цвик: Запрашиваемость и дистанционные запросы через 2-хоповые метки . SIAM J. Comput. 32 (5): 1338-1355 (2003)

Максим А. Бабенко, Эндрю В. Гольдберг, Анупам Гупта, Вишванат Нагараджан: Алгоритмы оптимизации меток узлов . ICALP 2013: 69-80

Опираясь на работу Cohen et al. и другие, есть немало прикладных исследований (сообщество баз данных), см., например,

Руоминг Джин, Гуань Ван: простой, быстрый и масштабируемый доступ к Oracle . PVLDB 6 (14): 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Yuichi Yoshida: Быстрые и масштабируемые запросы достижимости на графиках с помощью сокращенной маркировки с ориентирами и путями . CIKM 2013: 1601-1606

Я частично отвечу на ваш вопрос: кажется, есть некоторые причины, по которым такую ​​конструкцию трудно получить.

Предположим, что для любого n-узлового ориентированного графа m-ребра вы можете предварительно обработать его за время T (m, n), чтобы на запросы достижимости можно было ответить за время q (m, n). Затем, например, вы можете найти треугольник в графе m-ребра с n-узлами в$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$время. следовательно$T(m,n)=O(n^2)$ а также $q(m,n)=O(n)$будет означать прорыв результат. Лучший алгоритм, который мы имеем для поиска треугольников, работает в$O(n^\omega)$ время и неясно, $\omega=2$,

Чтобы увидеть сокращение, предположим, что мы хотим найти треугольник в некотором графе $G$, Построить 4-слойный график на 4 набора$n$ узлы каждый $X,Y,Z,W$ где каждый оригинальный узел $v$ в $G$ имеет копии $v_X,v_Y,v_Z,v_W$, Теперь для каждого края$(u,v)$ в $G$ добавить направленные края $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$, Это завершает график. Теперь сделайте предварительную обработку в$T(O(m),O(n))$ время, и задайте вопросы о $v_X,v_W$ для каждого $v$,

Вероятно, с некоторой дополнительной работой можно изменить сокращение, чтобы также перечислить треугольники в графе (в настоящее время он перечисляет только узлы в треугольниках). Если можно сделать это эффективно, то, возможно, можно получить некоторую условную нижнюю границу на основе 3SUM, требующей$n^{2+o(1)}$ время, а также, используя результат Патраску от 2010 года.