Сколько времени распознавать палиндромы в логарифмическом пространстве?

Хорошо известно, что палиндромы могут распознаваться в линейном времени на машинах Тьюринга с лентами, но не на машинах Тьюринга с одной лентой (в этом случае необходимое время является квадратичным). Алгоритм линейного времени использует копию входных данных и, следовательно, также использует линейное пространство.$2$

Можем ли мы распознать палиндромы за линейное время многолентовой машины Тьюринга, используя только логарифмическое пространство? В более общем смысле, какой компромисс между пространством и временем известен палиндромам?

Используя пересекающиеся последовательности или сложность связи, легко получить компромисс между для последовательной машины Тьюринга, использующей время и пространство .$T(n)S(n) = \Omega(n^2)$$O(T(n))$$O(S(n))$

Этот результат был впервые получен Аланом Кобхэмом с использованием скрещивающих последовательностей в статье. Проблема распознавания для множества совершенных квадратов, появившаяся в SWAT (позднее FOCS) 1966.

Вы можете использовать тот же аргумент, который использовался для доказательства времени на одной ленте.$\Omega(n^2)$

Предположим, что у вас есть TM с пространством которое распознает палиндромы (где является обратным ) во время . Когда (входная) головка пересекает середину она может нести только битов информации. Так что нужно сделать крестики , а каждый крест требует времени.$S(n)$$\{x\,0^{\frac{n}{3}} x^R \mid |x|=n/3 \}$$x^R$$x$$T(n)$$0^{n/3}$$S(n)$$\Omega(n / S(n))$$n/3$

Так что .$T(n)S(n)=\Omega(n^2)$

В дополнение к другим ответам, стоит отметить, что, если рандомизация разрешена, палиндромы могут быть распознаны с O (1) пробелом и O (n) временем, хэшируя левую сторону строки, хешируя транспонирование правой стороны строка и проверка, равны ли хэши. Это не должно быть сложно сделать на машине Тьюринга.