Кодирование наборов перестановок с помощью генерирующего набора и набора исключенных элементов

Известны алгоритмы полиномиального времени для нахождения порождающих множеств групп перестановок, что интересно, поскольку мы можем затем представить эти группы кратко, не отказываясь от алгоритмов полиномиального времени для ответа на многие интересные вопросы, связанные с этими группами.

Однако иногда нас может интересовать набор перестановок , который не образует группу, поэтому этот набор будет представлен в виде , где - группа, порожденная набор генераторов а - это набор перестановок, которых нет в , а не просто .R = ⟨ S ⟩ ∖ Т ⟨ S ⟩ С Т Р ⟨ S $R$$R=\langle S\rangle \setminus T$$\langle S\rangle$$S$$T$$R$$\langle S\rangle$

Была ли проделана какая-либо работа по вычислению такого кодирования в форме пары , возможно, с дополнительной естественной целью минимизации?| S | + | T $\{S,T\}$$|S|+|T|$

Если вы храните случайные перестановки с вероятностью то вам понадобится Битов на перестановку, сложность Колмогорова диктует это. log2(n!${1\over2}$$log_{2}(n!)$

Если распределение не случайно, это зависит.

Чтобы понять пространство состояний, можно посмотреть на http://oeis.org/A186202 , размер любого минимального доминирующего множества над используя моногенное отношение включения между перестановками (игнорируя тождество, которое есть во всех подгруппах) ,$S_{n}$

Вы можете закодировать соответствующие перестановки простого порядка в битах каждый. Это даст вам некоторую экономию по сравнению с обычным Необходимым для случайной перестановки.l o g 2 ( n ! $log_{2}( OEIS\_A186202(n) )$$log_{2}(n!)$