Раскраска графика минимизирует количество цветов в каждом независимом наборе

Известно ли следующее утверждение?

Утверждение : для любого графа с вершинами существует раскраска такая, что каждое независимое множество окрашивается не более чем цветами.n G O ( $G$$n$$G$$O(\sqrt{n})$

Следующее утверждение известно мне, но может не учитываться, потому что оно неопубликовано: любой граф на вершинах может быть раскрашен таким образом, чтобы любой индуцированный подграф хроматического числа не более использовал не более цветов, где .H k χ ( H ) + B B ( B + 1 ) ≤ 2 k $n$$H$$k$$\chi(H)+B$$B(B+1)\leq 2kn$

Это доказательство по индукции; мотивация состояла в том, чтобы рассмотреть раскраски, которые используют несколько цветов не только на графике, но и на всех индуцированных подграфах. Я не знаю ни о каких опубликованных результатах, все же.

Не совсем то, что вы просите, но вот нижняя граница - график, для которого любая раскраска приведет к независимому набору, окрашенному цветами:$\sqrt{n}$

Возьмите копии и соедините все вершины с одной вершиной . K$\sqrt{n}$$K_{\sqrt{n}}$$s$

Очевидно, что каждый набор вершин из разных является независимым, и в каждой копии вы можете найти хотя бы один «новый» цвет. KK$\sqrt{n}$$K$$K_{\sqrt{n}}$

Эта нижняя граница может быть легко улучшена до или около того, если мы соединяем с одной вершиной, но она остается только цветами . К1,К2,. , Ω($\sqrt{2n}$$K_1,K_2,..$$\Omega(\sqrt{n})$

$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$$I$$G$$\alpha$$I$$G - I$$2,...,c$$K$$G$$K' = K - I$$K'$$\sqrt{n-\alpha}$$K$$1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$$\alpha \geq \sqrt{n}$