Какова сложность этой проблемы пути?

Экземпляр: неориентированный граф с двумя выделенными вершинами и целым числом . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Вопрос: существует ли путь в , такой, что путь касается не более вершин? (Вершина затрагивается путем, если вершина находится либо на пути, либо имеет соседа на пути.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Андрас Фараго
источник

Это звучит как ограниченная субмодульная минимизация. К сожалению, не ясно, что набор ограничений допускает эффективное решение.

— Суреш Венкат

Мой ответ

был, вероятно, неверным! После более тщательной проверки эвристика не выглядит монотонной.

A^{*}

$A^*$

— usul

В продолжение комментария Суреша стоит проверить статью «Приближение комбинаторных задач с мультимагентными функциями субмодульной стоимости», в которой показано, что кратчайший путь для субмодульной стоимости труден. Может быть, есть идеи, которые показывают твердость. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Чандра Чекури

Эта проблема может быть перефразирована как нахождение подграфа гусеницы с не более чем

вершинами, которые включают

на самом длинном пути.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Обинна Окечукву,

@ Obinna подграф графа гусеницы должен быть максимальным в некотором смысле, потому что мы должны включить всех соседей самого длинного пути

— SamM

Ответы:

Эта проблема была изучена в:

Шири Чечик, Мэтью П. Джонсон, Мерав Партер, Дэвид Пелег: уединенные проблемы с подключением. ЕКА 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Они назвали это проблемой уединенного пути. Это действительно NP-сложный, и версия оптимизации не имеет приближения с постоянным множителем.

Мотивация, которую обеспечивают авторы, - это настройка, в которой информация отправляется по пути, и ее могут видеть только соседи и узлы в пути. Цель состоит в том, чтобы минимизировать воздействие.

— user20655
источник

Изменить: Пожалуйста, смотрите ответ user20655 ниже для ссылки на документ, уже доказывающий серьезность этой проблемы. Я оставлю свой исходный пост на тот случай, если кто-нибудь захочет увидеть это альтернативное доказательство.

===============

$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

$x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

$s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

$x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Строительство жесткого экземпляра

$\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (это интуитивно понятно, так как удаление одного из двух параметров из любой выбранной переменной дважды приводит к правильному пути со стоимостью, не превышающей ту, в которой мы оба держали).
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Йонатан Н
источник