Подсчет растворов формул Монотон-2CNF

Формула Monotone-2CNF - это формула CNF, в которой каждое предложение состоит ровно из двух положительных литералов.

Теперь у меня есть Монотонный-2CNF формула . Пусть S будет множеством удовлетворяющих заданий F. У меня также есть оракул O, который может дать следующую информацию:$F$$S$$F$$O$

1. Мощность множества (т. Е. Количество решений F ).$S$$F$
2. Учитывая переменную : $x$
   • Число решений в содержащих положительный литерал x .$S$$x$
   • Число решений в содержащих отрицательный литерал ¬ x .$S$$\lnot x$
3. Дано 2 переменные и х 2 : $x_1$$x_2$
   • Количество решений в содержащих x 1 ∧ x 2 .$S$$x_1 \land x_2$
   • Количество решений в содержащих x 1 ∧ ¬ x 2 .$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • Количество решений в содержащих ¬ x 1 ∧ x 2 .$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • Число растворов в содержащих ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 .$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

Обратите внимание , что оракул будет «ограничена»: он работает только на F , он не может быть использован по формуле F ' ≠ F .$O$$F$$F' \neq F$

Вопрос:

С учетом 3 переменных , х 2 , х 3 является возможным определить количество решений в S , содержащих ¬ х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ ¬ х 3 в полиномиальное время, используя F и информацию , предоставленную O ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

Замечания:

Вы можете заменить в вопросе с тем, что еще из 8 возможных комбинаций х 1 , х 2 , х 3 . Проблема останется прежней.$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

Эмпирический факт:

Я столкнулся со следующим эмпирическим фактом неделю назад. Пусть будет множеством этих решений, содержащих ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 , и пусть S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 ⊂ S будет множеством тех решений, содержащих ¬ x 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 . Теперь, похоже, дело в том, что если условие $S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$ имеет место, это соотношение также выполняется:

гдеϕ=1.618033 ...золотое сечение. УсловиеCвыглядит следующим образом:«x1,x2,x3упоминаются вFпочти одинаковое количество раз».$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$$x_3$$F$

Чтобы использовать этот эмпирический факт, вы действительно хотите знать, могут ли приблизительные числа давать другим приблизительные числа. Но для точного случая, я думаю, может быть прямой способ показать, что это сложно. Вот эскиз.

Сначала отметим, что удовлетворяющие назначения соответствуют независимым множествам в графе. Я буду использовать фразу «S-проекцию I (G)» , чтобы описать отображение функции к числу независимых множеств I с I П S = T . «K-проекции» - это S-проекции для всех подмножеств S из V с | S | = к .$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

Схема доказательства:

1. Если 2-проекции дают 3-проекции, они также дают k-проекции в политиме для каждого k.
2. Если 2-проекции дают 4-проекции, то число независимых множеств графа указывается в FP, поэтому FP = # P.

(1) Пусть такое, что (k-1) -проекции дают k-проекции. Учитывая график, его K-проекции, а х 1 , . , , , Х к , v ∈ G , мы будем вычислять проекции на х 1 , . , , , х к , v .$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

Define the graph $G'$ by attaching a fresh vertex to v. This can be seen as weighting v. The (k-1)-projections of $G'$ can be computed because we know the k-projections of G. So then we have the k-projections of $G'$. And this gives ${x_1,...,x_k,v}$-projections of G.

${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Some observations, not an answer.

Further to the note to the question, any combination of 3 literals can be expressed in terms of any other combination of literals on the same variables, together with a small number of terms that the oracle can provide. This follows from looking at the Venn diagram of 3 intersecting sets, and expressing each of the 8 regions in terms of the other regions. Note that this does not require the formula to be either monotone or 2CNF.

It is also clear that the number of solutions satisfying any 3-literal conjunct can be expressed as the sum of $2^{n-3}$ terms, each of which is either 0 or 1, expressing a particular assignment to all variables. Each of these can be evaluated in linear time, but there are exponentially many terms to evaluate, so this doesn't satisfy the requirements.

Hence the question is really about whether it is possible to exploit the property of being monotone 2CNF to compress this exponential-size expression to polynomial size.

I tried to look at a simpler question, restricting the oracle to just an advice string with the number of solutions, when the counts for single or pairwise literal combinations are not available. I cannot see any way to exploit knowledge of the number of solutions to obtain a quick calculation of the number of solutions with respect to any single literal.

Is there something about monotone 2CNF that would allow the number of solutions in $S$ containing $x_1$ to be obtained quickly, if one knew $|S|$?