Аппроксимирующий нетривиальный графовый автоморфизм?

График автоморфизм является перестановкой узлов графа , который индуцирует биекцию на множество ребер . Формально, это - перестановка узлов, таких тогда и только тогда, когда $E$ $f$ $(u,v)\in E$ $(f(u),f(v))\in E$

Определите нарушенное ребро для некоторой перестановки как ребро, которое отображается на не ребро, или ребро, прообраз которого не является ребром.

Вход : нежесткий граф $G(V, E)$

Проблема : Найти (не тождественную) перестановку, которая минимизирует количество нарушенных ребер.

Какова сложность нахождения (не тождественной) перестановки с минимальным количеством нарушенных ребер? Сложна ли задача для графов с ограниченной максимальной степенью (в предположении некоторой сложности)? Например, это сложно для кубических графов? $k$

Мотивация: Проблема заключается в релаксации задачи автоморфизма графа (GA). Входной граф может иметь нетривиальный автоморфизм (например, нежесткий граф). Насколько сложно найти приближенный автоморфизм (перестановочный шкаф)?

Изменить 22 апреля

Жесткий (асимметричный) граф имеет только тривиальный автоморфизм. Нежесткий граф имеет некоторую (ограниченную) симметрию, и я хотел бы понять сложность аппроксимации его симметрии.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Задача тривиальна, тождественная перестановка всегда оптимальна.

— Юкка Суомела

@Jukka, В задаче об автоморфизме графа мы ищем нетривиальный автоморфизм. Точно так же, здесь я не заинтересован в перестановке тождеств.

— Мухаммед Аль-Туркистани

На самом деле я предлагаю вам задать неправильный вопрос ... Возможно, это поможет, если вы сообщите свою мотивацию или заявление.

— Юкка Суомела

Задача состоит в релаксации задачи автоморфизма графа (GA). Входной граф может иметь нетривиальный автоморфизм. Насколько сложно найти приближенный автоморфизм (перестановочный шкаф)?

— Мухаммед Аль-Туркистани

Я не понимаю, почему вы ограничиваетесь нежесткими графиками, где фактическое оптимальное значение равно нулю. В жестких графиках коэффициент приближения может быть более интересным.

— Деррик Столи

Ответы:

$G$ $H$ $\epsilon$

$G$ $H$
$G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

Показатель сложности - это количество зондов в матрицах смежности, и цель состоит в том, чтобы различать два случая с высокой вероятностью, используя сублинейное число зондов.

Эльдар Фишер и Арье Мацлия ( спасибо, Арнаб ) написали статью в SODA 2006 именно об этой проблеме. Хотя это не имеет прямого отношения к вашей проблеме, оно может стать способом постановки возможной проблемы и даже может предоставить вам полезные методы.

— Суреш Венкат
источник

Действительно, эта проблема тоже интересна.

— Мухаммед Аль-Туркистани

Просто исправление: эта статья совместна с Арье Мацлия.

— Арнаб

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

Результат Юджина Лукса (« Изоморфизм графов ограниченной валентности может быть проверен за полиномиальное время ») показывает, что изоморфизм (или автоморфизм) графов для графов ограниченной степени находится за полиномиальное время. Следовательно, если вы ищете некоторый (не тождественный, как указывал Юкка) почти автоморфизм для кубических графов, которые не являются жесткими, то мы можем использовать алгоритм Лукса и взять любой нетривиальный автоморфизм в графе.

— Ramprasad
источник

Я просмотрел статью и понял, что она решает проблему решения ГА с ограниченной степенью за полиномиальное время. Мой вопрос - это проблема оптимизации. Также нельзя исключать жесткие графики.

— Мухаммед Аль-Туркистани