Сложность нахождения максимального числа попарно непересекающихся множеств

Предположим, что у меня есть $P$ наборы с элементами, взятыми из $r$возможные. Каждый набор имеет размер$n$ ($n<r$), где наборы могут перекрываться. Я хочу определить, являются ли следующие две проблемы NP-полными или нет:

Проблема А. Есть ли$M$ ($1 \le M \le P$) различные наборы внутри$P$ множества (т.е. их попарное пересечение пусто)?

Проблема Б. Теперь$k$ ($k<n$) элементы могут быть выбраны из каждого набора. Здесь$L$ ($1 \le L \le P$) различные наборы размера$k$ каждый в пределах $P$наборы? Обратите внимание, что только один набор$k$ элементы могут быть взяты из каждого набора $n$ элементы.

Замечание : меня в основном интересует случай, когда$k,n$ исправлены ($n \ge 2, k \ge 2$).

Я думаю, что проблема А может рассматриваться как $n$-равномерная $r$проблема согласования гиперграфа. То есть у нас есть элементы$r$ как вершины, и каждый гипер-край содержит подмножество $n$ вершины графа.

1. в $n$-равномерная $r$проблема согласования гиперграфа NP-полная?

2. Я думаю, что проблема B эквивалентна нахождению числа различных гипер-ребер мощности $k$ взяты из гипер-краев мощности $n$, Это ограниченная версия (в том смысле, что каждый$k$-кардинальный набор берется из предварительно выбранного набора $n$ элементы, а не взяты произвольно из $r$ элементы) задачи NP-полной?

Пример ($n=3,r=5, P=3$):

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,3,4\}$, $C=\{3,4,5\}$

Если $k=n=3$, есть только $M=1$ один отдельный набор, который $A$ или $B$ или $C$, так как каждая из пар $(A,B)$, $(A,C)$, $(B,C)$ имеет непустое пересечение.

Если $k=2$, у нас есть $L=2$ различные наборы: одно решение $\{1,2\}$, $\{3,4\}$ (подмножества $A$ а также $B$).

Это особый случай проблемы упаковки с максимальным набором, и обе проблемы A и B являются NP-Complete . Обратите внимание, что проблема является просто проблемой соответствия, если$n=2$ и это также легко, если $n=1$, Так что я приду$n \ge 3$,

Вместо того, чтобы задавать вопрос,

Здесь $M$ непересекающиеся множества среди $P$ наборы?

Давайте зададим следующий вопрос

Какое максимальное количество непересекающихся множеств мы можем получить из $P$ наборы?

Ясно, что если второй вопрос отвечает за полиномиальное время, то и первый так же, так как все, что нам нужно сделать, это сравнить это максимальное значение с $M$и выведите YES, если$M$меньше или равно этому максимуму и НЕТ в противном случае.

Кроме того, если первый вопрос отвечает за полиномиальное время, то второй тоже слишком, поскольку мы можем использовать бинарный поиск на $M$ и получить ответ на второй вопрос и добавить только фактор $O(\log{M})$

Таким образом, мы можем сделать вывод, что оба вопроса эквивалентны. т. е. вопрос 1 разрешается в полиномиальное время тогда и только тогда, когда вопрос 2 тоже.

Также ясно, что проблемы в NP, так как мы можем легко проверить, что $M$ Множества излагаемые являются непересекающимися.

Таким образом, вопрос теперь состоит в том, как мы сводим к этому известную проблему NP-Hard? Для этого мы избавляемся от задачи максимального набора упаковки . Я просто сконцентрируюсь на проблеме А, поскольку проблему В легко показать трудной, установив$k=n-1$

Рассмотрим произвольный случай задачи упаковки максимального множества $T$, Обратите внимание, что единственная разница между задачей A и исходной проблемой упаковки максимальных наборов состоит в том, что в задаче A размер наборов должен быть одинаковым. Позволять$t$ быть максимальным количеством элементов среди всех наборов в $T$, Если каждый набор в$T$ иметь одинаковую мощность, мы закончили, и проблема покрытия множества - это точно проблема A. Теперь предположим, что для некоторого множества $S_i \in T$, у нас есть $|S_i| < t$, Мы просто добавляем$(t-|S_i|)$ элементы к $S_i$ которые не являются элементами любого набора в $T$, Мы повторяем этот процесс, пока все наборы$S_i \in T$имеют одинаковый размер. Понятно, что добавление новых элементов таким способом не меняет размер максимального числа непересекающихся множеств.

Итак, если мы можем решить проблему $A$ за полиномиальное время мы можем решить проблему упаковки максимального набора за полиномиальное время, так как все, что нам нужно сделать, это удалить дополнительные элементы, которые мы добавили, и это не изменит размер максимального числа непересекающихся множеств в $T$,

РЕДАКТИРОВАТЬ - Некоторые Дополнительная информация о проблеме B

Предположим, что задача B имеет решение за полиномиальное время, теперь рассмотрим произвольный случай $T$ проблемы А с $n$элементов в наборе. Теперь мы добавляем фиктивный элемент$d$ к каждому набору в $T$, Теперь мы задаем следующий вопрос.

Какое максимальное количество непересекающихся множеств мы можем получить, взяв $n$ элементы из каждого набора?

Теперь мы знаем, что среди наборов в максимуме не более одного из них может содержать фиктивный элемент, поэтому, если ответ, который мы получаем как максимум, равен $M$, то фактическое максимальное количество наборов в экземпляре $T$ (наша первоначальная проблема А) либо $M$ или $(M-1)$, но это дает постоянный коэффициент приближения для максимальной упаковки набора. И такое приближение возможно только если$P=NP$, Так что проблема Б тоже сложная.