Читатель, писатель монад

Пусть будет CCC . Пусть быть бифунктором продукта на . Так как Cat - это CCC, мы можем карри (\ times) :$C$$(\times)$$C$$(\times)$

$curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C)$

$curry (\times) A = \lambda B. A \times B$

Функторная категория $C \Rightarrow C$ имеет обычную моноидальную структуру. Моноид в $C \Rightarrow C$ является монадой $C$ . Рассматриваются конечные продукты , как моноидальные структуры на $C$ .

$curry (\times) 1 \cong id$

$\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B)$

Поэтому $(curry (\times))$ сохраняет моноидальную структуру, поэтому он переносит моноид в монаду и комоноид в комонаду. А именно, он переносит произвольный моноид $w$ в монаду $(Writer\ w)$ (посмотрите на определение - $w$ должен быть моноидом). Точно так же он переносит диагональный комоноид в комонаду Coreader.

Теперь, для конкретности, я раскрываю конструкцию Writer.

Начать. На самом деле $Writer = Coreader = curry(\times)$ , они просто имеют разные имена в Haskell. У нас есть моноид Haskell $\langle w, mappend, mempty\rangle$ :

$mappend : w\times w \to w$

$mempty : 1 \to w$

Writer функтор, поэтому необходимо сопоставить также морфизмов, такие как и . Я пишу это, как показано ниже, хотя в Haskell это недопустимо:м е т р т $mappend$$mempty$

$Writer\ mappend : Writer(w\times w) \to Writer\ w$

$Writer\ mappend$ является естественным преобразованием, морфизм в . По свойствам это функция, которая принимает и дает морфизм в :c u r r y ( × ) a ∈ O b ( C ) $C\Rightarrow C$$curry(\times)$$a \in Ob(C)$$C$

$Writer\ mappend\ a = mappend\times(id(a)) : Writer (w\times w) a \to Writer\ w\ a$

Неформально суммирует компоненты типа и насосы нетронутыми. Это в точности определение Writer в Haskell. Одним из препятствий является то, что для монады нам нужнош ⟨ Ш т я т е р ш , μ , п $Writer\ mappend\ a$$w$$a$$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$

$\mu : Writer\ w \circ Writer\ w \to Writer\ w$

т.е. несовместимость типов. Но эти функторы изоморфны: обычным ассоциатором для конечных произведений, который является естественным изоморфизмом . Затем мы определяем через . Я опускаю конструкцию через .≅ λ a . ш × ( ш × ) = Ш г я т е р ш ∘ Ш т я т е р ш μ Ш т я т е р м р р $Writer (w\times w) = \lambda a. (w\times w)\times a$$\cong \lambda a. w\times(w\times a) = Writer\ w \circ Writer\ w$$\mu$П м е т р т $Writer\ mappend$$\eta$$mempty$

Writer, будучи функтором, сохраняет коммутативные диаграммы, т. Е. Сохраняет моноидные равенства, поэтому мы имеем само собой разумеется доказанные равенства для = моноид в = монаде в . Конец.( С ⇒ С ) $\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$$(C\Rightarrow C)$$C$

Как насчет Reader и Cowriter? Reader присоединяется к Coreader, как описано в определении Coreader, см. Ссылку выше. Точно так же Cowriter присоединяется к Writer. Я не нашел определения Cowriter, поэтому составил его по аналогии, приведенной в таблице:

{- base, Hackage.category-extras -}
import Control.Comonad
import Data.Monoid
data Cowriter w a = Cowriter (w -> a)
instance Functor (Cowriter w) where
    fmap f (Cowriter g) = Cowriter (f . g)
instance Monoid w => Copointed (Cowriter w) where
    extract (Cowriter g) = g mempty
instance Monoid w => Comonad (Cowriter w) where
    duplicate (Cowriter g) = Cowriter
        (\w' -> Cowriter (\w -> g (w `mappend` w')))

Ниже приведены упрощенные определения этих (со) монад. fr_ob F обозначает отображение функтора F на объекты, fr_mor F обозначает отображение функтора F на морфизмы. Существует моноид объект в .$\langle w,\hat{+},\hat{0}\rangle$$C$

• писатель
  • $fr\_ob (Writer\ w) a = a\times w$
  • $fr\_mor (Writer\ w) f = \lambda \langle a_0,w_2\rangle. \langle a_0,f\ w_2\rangle$
  • $\eta a = \lambda a_0. \langle a_0, \hat{0} \rangle$
  • $\mu a = \lambda \langle \langle a_0,w_1\rangle,w_0\rangle. \langle a_0, w_0\hat{+}w_1\rangle$
• читатель
  • $fr\_ob (Reader\ r) a = r\to a$
  • $fr\_mor (Reader\ r) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda a_0\ r_0. a_0$
  • $\mu a = \lambda f\ r_0. f\ r_0\ r_0$
• Coreader
  • $fr\_ob (Coreader\ r) a = r\times a$
  • $fr\_mor (Coreader\ r) f = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle f\ r_0,a_0\rangle$
  • $\eta a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. a_0$
  • $\mu a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle r_0,\langle r_0,a_0\rangle\rangle$
• Cowriter
  • $fr\_ob (Cowriter\ w) a = w\to a$
  • $fr\_mor (Cowriter\ w) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda f. f\ \hat{0}$
  • $\mu a = \lambda f\ w_1 w_0. f (w_0\hat{+}w_1)$

Вопрос в том, что присоединение в относится к функторам, а не к монадам. Я не понимаю, как в присоединении подразумевается «Coreader - это комонада» «Reader - это монада», а «Writer - это монада» «Cowriter - это комонада».$C$$\to$$\to$

Замечание. Я изо всех сил стараюсь предоставить больше контекста. Это требует некоторой работы. Особенно, если вам требуется категоричная чистота и эти (со) монады были введены для программистов. Продолжай ныть! ;)

Да, если монада имеет присоединенный справа N , то N автоматически наследует структуру comonad.$M : C \to C$$N$$N$

Общая теоретико-категоричная установка для понимания этого заключается в следующем. Пусть и D две категории. Напишите F u n ( C , D ) для категории функторов из C в D ; Его объекты - функторы, а его морфизмы - естественные преобразования. Напишите F u n L ( C , D ) для полной подкатегории F u n ( C , D $C$$D$$\mathrm{Fun}(C, D)$$C$$D$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$\mathrm{Fun}(C, D)$на функторах, которые имеют правые примыкания (другими словами, мы рассматриваем функторы с правыми примыканиями и произвольными естественными преобразованиями между ними). Написать F R : D → C для правого сопряженного функтора F : C → D . Тогда - R : F u n L ( C , D ) → F u n ( D , C ) является контравариантным функтором: если α : F $C \to D$$F^R : D \to C$$F : C \to D$$-^R : \mathrm{Fun}^L(C, D) \to \mathrm{Fun}(D, C)$ представляет собой естественное преобразованието есть индуцированное естественное преобразование α R : G R → F R .$\alpha : F \to G$$\alpha^R : G^R \to F^R$

Если , то F u n ( C , C ) имеет моноидальную структуру, заданную композицией, и F u n L ( C , D ) , потому что композиция левых примыканий является присоединенной слева. В частности, ( F G ) R = G R F R , поэтому - R - антимоноидальный контравариантный функтор. Если применить - R к структурным естественным преобразованиям, которые оснащают функтором $C = D$$\mathrm{Fun}(C, C)$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$(FG)^R = G^R F^R$$-^R$$-^R$$M$ со структурой монады, то, что вы получаете, является comonad.

Кстати, это:

Пусть будет бифунктор продукт C . Поскольку C является CCC, мы можем карри ( × $(\times)$$C$$C$$(\times)$

немного неверно. С одной стороны , обычная терминология была бы (если я не ошибаюсь) , что является бифунктор более или C . «В» обычно означает конструкции, использующие стрелки и объекты категории, в то время как функторы «в» категориях относятся к конструкциям, связанным с несколькими категориями. И бифунктор продукта не является конструкцией в декартовой категории.$\times$$C$

И это относится к большей неточности: способность каррировать бифунктор продукта не имеет ничего общего с тем, что является декартовой замкнутой. Скорее, это возможно, потому что C a t , категория категорий (вставка предостережения) является декартовой замкнутой. Таким образом, рассматриваемое карри определяется:$C$$Cat$

где является продуктом категории, и Е D является категория функторов F : D → E . Это работает независимо от того , являются ли C , D и E декартовыми замкнутыми. Когда мы позволяем C = D = E , мы получаем:$C \times D$$E^D$$F : D \to E$$C$$D$$E$$C = D = E$

c u r r y × : C → C

Но это всего лишь частный случай:

c u r r y F : C → E

Рассмотрим примыкание . Для каждого такого примыкания мы имеем монаду ⟨ G F , η , G & epsi F ⟩ , а также комонада ⟨ F G , ε , F П G ⟩ . Следует отметить, что F и G не должен быть endofunctors, и в целом они не являются (например, список монады является adjuction между свободными и забывчивыми функторами между S е т и М O $\langle F,G,\epsilon,\eta \rangle$$\langle GF, \eta, G\epsilon F\rangle$$\langle FG, \epsilon, F\eta G\rangle$$F$$G$$\mathbf{Set}$$\mathbf{Mon}$).

Итак, что вы хотите сделать, это взять Reader (или Writer) и разложить его на сопряженные функторы, которые дают начало монаде и соответствующей ей. То есть соединение между Reader и Coreader (или Writer и Cowriter) не является тем, которое вы ищете.

И это, вероятно , лучше думать о выделки , как , т.е. ∀ X , Y . { f : X × A → Y } ≅ { f ∗ : X → Y A } . Или, если это поможет, - ∗ : hom ( - × A $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}) \cong \text{hom}({-}, {=}^A)$$\forall X,Y.~ \lbrace f : X\times A \to Y \rbrace \cong \lbrace f^\ast : X \to Y^A \rbrace$$-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}\times 1) \cong \text{hom}({-}^1, {=}^A)$