Методы показа этой проблемы в твердости «подвешенный»

Учитывая новую проблему в , истинная сложность которой находится где-то между и являющейся NP-полной, я знаю два метода, которые можно использовать, чтобы доказать, что решить эту проблему сложно: $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Покажите, что задача является GI-полной (GI = Изоморфизм графов)
Покажите, что проблема в . По известным результатам такой результат подразумевает, что если задача является NP-полной, то PH падает на второй уровень. Например, известный протокол для неизоморфизма графов делает именно это. $\mathsf{co-AM}$

Существуют ли какие-либо другие методы (возможно, с разными «убеждениями»), которые были использованы? Для любого ответа необходим пример того, где он фактически использовался: очевидно, есть много способов показать это, но примеры делают аргумент более убедительным.

— Суреш Венкат
источник

Если проблема кажется достаточно сложной, но вы не можете доказать, что это NPC, быстрая проверка состоит в подсчете количества строк длины n на языке: если набор редок, он вряд ли будет NPC (в противном случае P = NP по теореме Махани) ... поэтому лучше направить усилия на то, чтобы доказать, что это в P :-) :-) Пример из блога Fortnow & Gasarch : {(n, k): существует способ разбиения { 1, ..., n} в самое большее k блоков, чтобы ни у одного блока не было x, y, z с x + y = z}

— Марцио Де Биаси

@MarzioDeBiasi звучит как ответ для меня.

— Сашо Николов

Такая демонстрация состоит из двух частей: демонстрация сложности помещения задачи в BPP и демонстрация сложности помещения задачи в класс NP-complete.

$\:$ (Напомним, что GI-полнота просто означает «находится в GI и является трудной для GI».)

$\;\;\;$

+1 для Рикки Демер; мы могли бы хотеть иметь список методов для первой части.

— Pteromys

Для проблем в FNP без очевидных версий решений в NP, PPAD является полезным (и растущим) классом для рассмотрения. Задачи, полные PPAD, включают в себя множество проблем с нахождением фиксированных точек, например равновесия Нэша. Список Шивы полезен: cs.princeton.edu/~kintali/ppad.html

— Андраш Саламон,

Ответы:

Показ того, что ваша проблема в coAM (или SZK), действительно является одним из основных способов привести доказательства «неопределенности твердости». Но кроме этого есть несколько других:

Покажите, что ваша проблема в NP ∩ coNP. (Пример: Факторинг.)
Покажите, что ваша проблема разрешима за квазиполиномиальное время. (Примеры: измерение VC, приближенные бесплатные игры.)
Покажите, что ваша задача не сложнее, чем инвертировать односторонние функции или решить NP в среднем. (Примеры: множество проблем в криптографии.)
Покажите, что ваша проблема сводится к (например) Уникальным играм или Расширению малого набора.
Покажите, что ваша проблема в BQP. (Пример: Факторинг, хотя, конечно, это также в NP ∩ coNP.)
Исключите большие классы снижения NP-полноты. (Пример: проблема минимизации цепей, изученная Kabanets и Cai.)

Я уверен, что есть другие, которые я забыл.

— Скотт Ааронсон
источник

Это отличный список, Скотт!

— Суреш Венкат

Просто любопытно ... какие из этих методов показывают, что проблема вряд ли будет решаема за полиномиальное время (или RP, или BPP)? Я не видел никого, который, казалось бы, делал это.

— Филип Уайт

Филипп: Ты прав, они нет. Для доказательства того, что конкретной проблемы NP нет в P, все сводится к (1) попытке поставить ее в P и неудаче, и / или (2) уменьшению других проблем, которые люди не смогли поставить в P для этой проблемы.

— Скотт Ааронсон

$n$

Примером может служить проблема разбиения чисел на k-блоки (из блога Fortnow & Gasarch, первоисточник: Cyberpuzzles доктора Экко ):

$\{ (n,k) \mid \text{ there exists a way to partition }$ $\{1,...,n\} \text{ into at most k boxes so that no box has } x,y,z \text{ with } x+y=z \}$

— Марцио де Биаси
источник

Вот три дополнения к списку Скотта:

Покажи свою проблему в ракурсе. Это означает, что число решений ограничено некоторым полиномом. (Пример: проблема с шлагбаумом). Ни одна NP-полная проблема, как известно, не существует в P. (невозможно, если только P = NP).
Покажите вашу проблему в $LOGNP$ $NP[log^2n]$
Покажите, что ваша задача имеет субэкспоненциальную плотность (Х. Берман и Дж. М. Хичкок доказали нижнюю границу плотности ( ), если только иерархия полиномов не разрушится. Следовательно, любое -полное множество должно иметь некоторое такое, что для бесконечно -много целых чисел $2^{n^{\epsilon}}$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

H. Бурман и JM Хичкок, NP-Hard Наборы Экспоненциально Плотные Если только $coNP ⊆ NP/poly$

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Или даже в UP (не только FewP)!

— Джошуа Грохов