Максимальное непересекающееся множество: каков фактический коэффициент аппроксимации жадного алгоритма?

Рассмотрим проблему нахождения максимального непересекающегося множества - максимального набора непересекающихся геометрических фигур из заданного набора кандидатов. Это NP-полная проблема, но во многих случаях следующий жадный алгоритм дает приближение с постоянным множителем:

Для каждой подходящей фигуры x вычислите ее непересекающееся число пересечений = наибольшее количество непересекающихся фигур, пересекающих x . $DIN(x)$
$\arg \min_{x} DIN(x)$
Продолжайте, пока больше не останется кандидатов.

Например, рассмотрим следующий рисунок со страницы Википедии:

введите описание изображения здесь

Зеленый диск пересекает 5 других дисков, но его DIN равен 3 (3 красных диска не пересекаются). Самые верхние и самые нижние красные диски пересекаются с 2 другими дисками, но сами они пересекаются, поэтому их DIN равен 1. Желтые диски имеют DIN 2. Таким образом, жадный алгоритм выбирает самый верхний или самый нижний красный диск.

Если минимальный DIN может быть ограничен константой, то жадный алгоритм является полиномиальным приближением с постоянным множителем.

Например, если все возможные формы являются единичными дисками, Марате и др. (1995) показывают, что диск с DIN не более 3 всегда существует: крайний левый диск (диск с наименьшей координатой x) пересекает не более 3 других непересекающихся дисков. , Следовательно, жадный алгоритм дает 3-аппроксимацию, поскольку он получает 1 диск на каждые (не более) 3 диска в оптимальном решении.

Точно так же, если все возможные формы являются дисками произвольного размера, жадный алгоритм дает 5-аппроксимацию, потому что самый маленький диск пересекает не более 5 других непересекающихся дисков, то есть минимальный DIN составляет не более 5.

Пока все хорошо, но достаточно ли этих факторов 3 и 5? Я не уверена.

Посмотрите на рисунок выше. Выбор крайнего левого диска (зеленого цвета) найдет непересекающийся набор размера 1, который действительно является 3-приближением максимального максимального непересекающегося набора размера 3 (красного цвета), но жадный алгоритм не выберет зеленый диск - он выберет верхний / нижний красный диск, DIN которого равен 1. В этом случае жадный алгоритм найдет оптимальное решение.

Я не смог найти контрпример для общего , в котором жадный алгоритм находит непересекающееся множество с единичными дисками, в то время как максимальное непересекающееся множество имеет . На самом деле, я даже не смог построить общий контрпример, в котором минимальный DIN действительно равен 3. Лучшее, что я мог бы придумать, это следующее, в котором каждый диск устройства пересекается не более чем с двумя другими непересекающимися дисками (т.е. минимальный DIN это 2). Но даже здесь жадный алгоритм находит оптимальное решение, а не 2-приближение: $n$ $n$ $3n$

введите описание изображения здесь

Мои вопросы:

Каков фактический максимальный минимальный DIN в коллекциях дисков? Диски произвольного размера?
Каков фактический коэффициент аппроксимации жадного алгоритма для наборов юнит-дисков? Для дисков произвольного размера? (этот коэффициент не более, чем max min DIN, но может быть меньше).

ОБНОВЛЕНИЕ: Для каждого набора k фигур определите = наибольшее количество непересекающихся фигур, пересекаемых их объединением . Определите как минимальный DIN для всех k наборов непересекающихся форм. $x_1,...,x_k$ $DIN(x_1,...,x_k)$ $x_1\cup...\cup x_k$ $minDIN_k$

Например, в ответе Юрия ниже , потому что каждый круг пересекает 3 других круга. , потому что можно выбрать 2 непересекающихся окружности, один из внешнего круга и один из внутреннего круга, которые вместе пересекают только 4 других круга. Для каждого , . $minDIN_1=3$ $minDIN_2=4$ $k$ $minDIN_k\leq k+2$

Я думаю, что коэффициент аппроксимации жадного алгоритма может быть ограничен , потому что для каждого фигуры в оптимальном решении у нас есть по крайней мере фигур в выходных данных алгоритма. Это верно? $\frac{minDIN_k}{k}$ $minDIN_k$ $k$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я сейчас читаю превосходную книгу Исследования проблем в дискретной геометрии . Хотя я не нашел этой точной проблемы, я нашел проблему, которая выглядит связанной. В разделе «2.5 тонких упаковки со многими соседями» приведены примеры упаковок кругов, в которых каждый круг касается 5 других кругов. Интересно, может ли такая упаковка дать конфигурацию окружностей с DIN = 5.

cg.comp-geom

— Эрель Сегал-Халеви
источник

Может быть интересно отметить, что вычисление DIN может быть столь же сложным, как и вычисление самого независимого набора. Например, в случае графов дисков (а не графов единичных дисков) можно добавить большой диск, пересекающий все другие объекты в расположении; вычисление его DIN соответствует вычислению максимального независимого набора в исходной компоновке.

— Барт Янсен

@BartJansen Верно, но жадному алгоритму на самом деле не нужно вычислять DIN для каждой фигуры - ему нужна только фигура с минимальным DIN. Поскольку минимальный DIN составляет не более 5 (в случае дисков произвольного размера), ему нужно только проверить все подмножества максимум с 6 дисками и посмотреть, является ли один из них независимым. Это можно сделать за время для каждой фигуры.

O (n^{6})

$O(n^6)$

— Эрель Сегал-Халеви

На ваш последний вопрос - да, это правильно.

— domotorp

Каков фактический максимальный минимальный DIN в коллекциях дисков?

Это 3. введите описание изображения здесь

— Юрий
источник

Здесь есть 32 диска, расположенных в двух уровнях по 16. Каждый диск пересекается с 3 непересекающимися дисками - 2 на своем уровне и 1 на другом уровне. Но жадный алгоритм все равно найдет оптимальное решение с 16 дисками.

— Эрель Сегал-Халеви

Да, это отвечает только на 1/4 вопроса :-)

— Юрий