Разрешаемая теория асимптотического роста

Каковы известные пределы разрешимости сравнения скорости роста функций из ? Я здесь думаю о разрешимости таких вопросов, как «Является ли x x ∼ 2 ⌊ x lg ( x + 2 ) ⌋ ?» или «Является ли 2 lg ∗ x ∈ O ( lg lg x ) ?».$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$$2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

Если мы ограничим функции полиномами (выраженными обычным образом), то это не сложно. Смотрите также Кантор нормальная форма .

Насколько велик мы можем сделать класс функций до того, как сравнение станет неразрешимым? Можем ли мы распространить его на функции, используемые в типичном классе алгоритмов бакалавриата?

Как объясняет Джошуа Грохов в комментариях, меня действительно интересует набор выражений, а не сами функции. Так, например, меня будут интересовать процедуры принятия решений, которые могут сравнивать « » и « 2 », даже если они не могут сравнивать « ln e » и « n ( ln n ) - 1 ».$1$$2$$\ln e$$n^{(\ln n)^{-1}}$

Возможно связанный вопрос: "Является ли теория асимптотических границ конечно аксиоматизируемой?"

$\mathbb{R}$$x$$\exp$$\log|\cdot|$$f(x)^5 + f(x) = x$в семье). Харди показал, что любые две такие функции можно сравнивать асимптотически. Я не уверен, если доказательства являются алгоритмическими, но это стоит проверить.

Boshernitzan расширил этот класс еще дальше, и, несомненно, есть другие работы на эту тему.