Минимальное количество цветов, предотвращающее равносторонний равномерно окрашенный подтреугольник

В Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011 возникла интересная проблема:

Для фиксированного найдите минимальное k и отображение φ : { ( i , j ) | i ≤ j ≤ n } → { 1 , … , k } , так что не существует тройки ( i , j ) , ( i + l , j ) , ( i + l , j + l ) с φ ( $n$$k$$\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$$(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$ .$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

А именно, мы ищем минимальное количество цветов для треугольника, чтобы не было равномерно окрашенного равностороннего подтреугольника (на следующем рисунке показана неправильная раскраска, поскольку выделенные вершины образуют такой равномерно окрашенный равносторонний подтреугольник):

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Фактически они попросили достаточно малое для n = 1000, и в решении (написанном на немецком языке) они отметили, что жадный подход дает раскраску с 27 цветами для n = 1000 , которую можно уменьшить до$k$$n=1000$$27$$n=1000$ путем рандомизации цветов до правильное решение найдено.$15$

Меня интересуют точные решения (для меньших ). В решении говорится, что для возврата требуется, чтобы 2 цвета были достаточными для n ∈ { 2 , 3 , 4 }, а 3 - для 5 ≤ n ≤ 17 , когда возврат уже очень медленный при n = 17 .$n$$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

Сначала я попытался использовать формулировку ILP и Gurobi, чтобы получить некоторые результаты для , но это было слишком медленно (уже для n = 17 ). Затем я использовал SAT solver , потому что заметил, что существует прямая формулировка в качестве SAT-экземпляра.$n>17$$n=17$

При таком подходе я смог создать решение с цветами для n = 18 в течение 10 минут:$3$$n=18$$10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

Но чтобы решить, достаточно ли цветов для n = 19, это уже слишком медленно. Есть ли другой подход, который дает точные решения для n ≥ 19 ? Конечно, мы не можем ожидать полиномиального алгоритма.$3$$n=19$$n \geq 19$

Просто расширенный комментарий:

Вы можете взглянуть на подход, использованный Штейнбахом и Постхоффом, чтобы найти 4-цветную сетку 18x18 (и 12x21) без монохроматических прямоугольников. :

Бернд Штайнбах и Кристиан Постхофф, Решение последней открытой четырехцветной сетки без прямоугольников - чрезвычайно сложная многозначная задача . В материалах 43-го Международного симпозиума IEEE 2013 года по многозначной логике (ISMVL '13)

$c$$n \times m$

Еще одно замечание: я потратил недели циклов ЦП на проблему монохроматического без прямоугольника с 4-мя раскрасками, но я начал с неправильного частичного результата (неправильный предыдущий анализ, который ограничивал количество возможных одноцветных подконфигураций), и я использовал STP решатель ; Вы можете добиться значительных улучшений, если добавите ограничения, которые нарушают симметрию (например, упорядочение по раскраске стороны треугольника), и попытаетесь провести анализ возможных конфигураций, используя только один цвет.

РЕДАКТИРОВАТЬ: это результат программы STP для n = 19 (~ 1 мин.)

$n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$

$n=19$$n=23$

$n=22$

Большое спасибо Марцио за создание изображения и за то, что он сообщил мне о проблеме! :-)