Количество состояний локальных автоматов

Детерминированный автомат называется k- локальным при k > 0, если для каждого w ∈ X k множество { δ ( q , w ) : q ∈ Q } содержит не более один элемент. Интуитивно это означает, что если слово w длины k приводит к состоянию, то это состояние уникально или сказано иначе, чем произвольное слово длины$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$ последние k символов определяют состояние, к которому оно приводит.$> k$$k$

Теперь, если автомат является локальным, то он не должен быть k ′ -локальным для некоторого k ′ < k , но он должен быть k ′ -локальным для k ′ > k, чтобы последние символы некоторого слова | ш | > k определить состояние, если оно есть, однозначно.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Теперь я пытаюсь связать число состояний и локальность автомата. Я предполагаю:$k$

Лемма: Пусть = ( X , Q , Q 0 , F , δ ) быть к -local, если | Q | < k, то автомат тоже | Q | -местный.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Но я не смог доказать, какие-либо предложения или идеи?

Я надеюсь , что с помощью этой леммы , чтобы получить что - то о количестве состояний автомата, не -local для всех к ≤ N при фиксированном N > 0 , но к -local для некоторых к > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Поскольку вы говорите, что должно содержать не более одного элемента, я предполагаю, что вы используете версию DFA, где δ может быть частичным. Тогда это контрпример: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ для q < 4 и δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F и q 0, очевидно, не имеют значения для этого вопроса.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

Автомат является локальным, но не 5- локальным, поскольку T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Изменить: этот контрпример не работает, я буду держать его, чтобы комментарии имели смысл. Следующее делает, хотя.

Возьмем , с переходами 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( б ) . Этот автомат $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-локальный, но не локальный: для a a b a мы получаем пути 0 → 1 → 2 → 0 → 1 и 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , т.е. T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Поздний ответ, но ограничение задержки синхронизации было изучено для нескольких классов автоматов: см., Например, Однозначные автоматы; Беал и др. MCS'08 .

В частности; существует семейство детерминированных автоматов с задержкой как показано в разделе «На границе задержки синхронизации локального автомата»; Беал и др. TCS'98 , который соответствует соответствующей верхней границе O ( | Q | 2 ) .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS задержка синхронизации, определенная в статье, является минимальным для которого детерминированный локальный автомат является k- локальным .$k$$k$