Интересные функции на графиках, которые можно эффективно максимизировать.

10

Скажем, у меня есть взвешенный граф такой, что является весовой функцией - обратите внимание, что допустимы отрицательные веса. $G = (V,E,w)$ $w:E\rightarrow [-1,1]$

Скажем , что определяет свойство любого подмножества вершин . $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ $S \subset V$

Вопрос: Какие интересные примеры s, для которых задача максимизации: может быть выполнена за полиномиальное время? $f$ $\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

Например, функция вырезания графа

е (S) знак равно \underset{(U, v) \in Е : U \in S, v \notin S}{Σ} вес ((U, v))

$f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v))$ является интересным свойством подмножеств вершин, но не может быть эффективно максимизировано. Функция плотности краев является еще одним примером интересного свойства, которое, увы, не может быть эффективно максимизировано. Я ищу функции, которые одинаково интересны, но могут быть эффективно увеличены.

Я позволю определению «интересный» быть несколько расплывчатым, но я хочу, чтобы проблема максимизации была нетривиальной. Например, не должно быть, что вы можете определить ответ, не изучая края графика (поэтому постоянные функции и функция мощности не интересны). Также не должно быть случая, чтобы $f$ на самом деле просто кодировал какую-то другую функцию с полиномиальным размером, добавляя ее в область $2^V$ (то есть я не хочу, чтобы был какой-то маленький домен $X$ и некоторая функция $m:2^S\rightarrow X$ известно до того, как смотреть на график, так что интересующая функция действительно $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ и $f(S) = g(m(S))$ Если это так, то проблема «максимизации» на самом деле является просто вопросом оценки функции на всех входах.)

Изменить: Это правда, что иногда проблемы минимизации легко, если вы игнорируете веса ребер (хотя и не минимизируете функцию среза, так как я допускаю отрицательные веса ребер). Но меня явно интересуют проблемы максимизации. Это не становится проблемой в естественных взвешенных проблемах в этом урегулировании все же.

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics

— Аарон Рот
источник

У вас есть пример такой функции?

— Ярослав Булатов

Нет, отсюда и вопрос. :-)

— Аарон Рот

Ах хорошо. Мое впечатление, что функция, которая может быть эффективно развернута для всех графиков, должна быть неинтересной. Но могут быть интересные функции, которые можно эффективно максимизировать для ограниченных наборов графов. Например, для плоских графов некоторые интересные функции можно эффективно максимизировать, в то время как другие интересные функции еще не имеют эффективного алгоритма

— Ярослав Булатов,

Я был бы рад видеть ответы о результатах для ограниченных классов графов, если мы не можем придумать какие-либо интересные функции, которые можно максимизировать для всех графов.

— Аарон Рот

Разве это не должно быть CW? Мы можем генерировать произвольно много примеров, и то, являются ли они «интересными», субъективно.

— Юкка Суомела

5

Всякий раз, когда считает число ребер удовлетворяющих некоторому булеву предикату, определенному в терминах и , то то, что вы написали, является просто булевым 2-CSP. Целевая функция просит максимизировать количество удовлетворенных предложений по всем назначениям переменных. Это, как известно, является NP-твердым, и точный порог твердости также известен, предполагая UGC (см. Raghavendra'08). $f(S)$ $(u,v)$ $u\in S$ $v\in S$

Есть много естественных положительных примеров, когда вы хотите максимизировать по подмножествам ребер, например, Максимальное соответствие - один из примеров проблемы полиномиального времени в этом случае.

— Moritz
источник

Это хорошее наблюдение, которое исключает многие естественные проблемы этого типа.

— Аарон Рот

2

Доматическая перегородка / слабая 2-раскраска.

(В этом случае если каждое имеет соседа в и наоборот. В противном случае Решение с всегда существует, если есть нет изолированных узлов, и его можно легко найти за полиномиальное время.) $f(S) = 1$ $v \in S$ $V \setminus S$ $f(S) = 0$ $f(S) = 1$

— Юкка Суомела
источник

1

Минимальный разрез (в частности, вершинный разрез).

(В этом случае будет выглядеть примерно так: 0, если удаление узлов в множестве не разбивает по крайней мере на два компонента, а противном случае. Тогда максимизация эквивалентна нахождению минимального разреза , что можно сделать за полиномиальное время.) $f$ $S$ $G$ $|V| - |S|$ $f$

Вы также можете определить аналогичную функцию, которая соответствует минимальным срезам кромок.

(Например, равно 0, если или ; в противном случае это , где - множество ребер, которые имеют одну конечную точку в и другую конечную точку в ) $f(S)$ $S = \emptyset$ $S = V$ $|E| - |X|$ $X$ $S$ $V \setminus S$

— Юкка Суомела
источник

Хорошо, но это замаскированная проблема минимизации, которая, как правило, облегчается, когда вы игнорируете веса ребер. (Обратите внимание, что если вы принимаете во внимание веса ребер, так как я указываю, что у нас могут быть отрицательные веса, то min-cut также является сложной проблемой). Я постараюсь отредактировать вопрос, чтобы подчеркнуть этот момент.

— Аарон Рот

1

Максимальный независимый набор.

$f(S)$ $S$ $S$ $V \setminus S$ $S$ $S$ $f(S) = |V|$

— Юкка Суомела
источник

Как найти максимальное независимое множество за полиномиальное время?

— Ярослав Булатов

1

@ Ярослав: жадно.

— Юкка Суомела

@ Ярослав: Подсказка - разница между максимумом и максимумом огромна. ;-)

— Росс Снайдер