Подсчет количества простых путей в неориентированном графе

18

Как я могу определить количество уникальных простых путей в неориентированном графе? Либо для определенной длины, либо диапазона приемлемых длин.

Напомним, что простой путь - это путь без циклов, поэтому я говорю о подсчете количества путей без циклов.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Райан
источник

2

Об этом уже спрашивали на mathoverflow: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Листинг

5

На самом деле вопрос в mathoverflow был о том, чтобы найти все пути, а не считать их. Найти их может быть намного сложнее.

— DCTLib

1

Помимо ссылок, которые даны в ответах, одно тривиальное наблюдение состоит в том, что если можно сосчитать число путей длины

n - 1

$n-1$ то можно ответить на вопрос о существовании гамильтонова пути. Так что скорее всего это не П.

— Саид

20

Есть несколько алгоритмов, которые подсчитывают простые пути длины за время , что намного лучше, чем время грубой силы ( ). Смотри, например, Vassilevska and Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Андреас Бьёрклунд
источник

18

Это # P-complete (Valiant, 1979), так что вы вряд ли будете делать намного лучше, чем грубая сила, если вам нужен точный ответ. Аппроксимации обсуждаются Roberts and Kroese (2007).

Б. Робертс и Д. П. Кроуз, " Оценка числа - путей в графе $s$ $t$ ". Журнал графовых алгоритмов и приложений , 11 (1): 195-214, 2007.

Валиант Л.Г. « Сложность перечисления и проблемы надежности ». Журнал SIAM по вычислительной технике 8 (3): 410-421, 1979.

— Дэвид Ричерби
источник

4

Бумага Робертса и Кроуса, похоже, не дает гарантий приближения. Есть PTAS, известный для этой проблемы?

— Сашо Николов

3

@SashoNikolov, кажется маловероятным, что существует какой-либо разумный алгоритм приближения. Учитывая

получает

из

замены каждого узла клики размера

, где

и

. Для каждого простого пути длины

в

существует примерно

путей в

. Так что, если

имеет

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

гамильтонов путь, будет не менее

или около того простых

путей в

, а в остальном самое большее что-то вроде

простых

путей. Таким образом, это должно быть трудно приблизительно с коэффициентом

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

,

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Нил Янг

6

Я хотел бы добавить другой алгоритм аппроксимации, параметризованный: для фиксированного (или, что более точно, $\delta>0$ ), можно вычислитьс-аппроксимации числа простых путей, в любом неориентированного или ориентированного графа, длинывремени. $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
источник