Подграф, содержащий все узлы и ребра, являющиеся частью простых st-путей с ограниченной длиной в неориентированном графе

Очень похоже на мой ранее опубликованный вопрос . На этот раз, однако, график является ненаправленным.

Данный

Неориентированный граф $G$ без каких - либо множественных ребер или петель,
Исходная вершина $s$ ,
Целевая вершина $t$ ,
Максимальная длина пути $l$ ,

Я ищу $G'$ - подграф $G$ который содержит любую вершину и любое ребро в $G$ (и только те), которые являются частью хотя бы одного простого пути из $s$ в $t$ с длиной $\leq l$ .

Примечания:

Мне не нужно перечислять пути.
Я ищу эффективный алгоритм (и время, и память), так как мне нужно выполнить его на очень больших графах (10 ^ 8 вершин, 10 ^ 9 ребер).

ds.algorithms graph-algorithms shortest-path

— Лиор Коган
источник

Проверь это. Нашел эту статью, которая, кажется, делает подобное сокращение минимальных затрат, но использует специальные характеристики сети, чтобы решить ее быстрее, чем общие алгоритмы MCF.

— РБ

Ну, проблема в конце концов. Я оставлю предыдущий ответ, так как он также работает для направленного случая (который является NPC, как ответили на другой вопрос), и покажет, что это отношению к . $P$ $FPT$ $l$

В неориентированном случае это разрешимо, детерминистически с помощью минимального потока затрат (это может не сработать в масштабах, на которые вы ссылаетесь в вопросе, но лучше, чем экспоненциальный алгоритм).

Следующая процедура определит, должно ли какое-либо ребро быть частью выходного графа. Чтобы ответить на исходную задачу, просто переберите все ребра. $e=(u,v)\in E$

Чтобы создать потоковую сеть, выполните следующие действия:

Шаг 1: Разверните чтобы получить вершину и замените ребрами (они направлены как часть сети потоков), установите их стоимость на 0. $e$ $x_e$ $e$ $(u,x_e),$ $(x_e,u),(v,x_e),(x_e,v)$

Шаг 2: замените каждую вершину , кроме , двумя вершинами и и добавьте ребро . Установите стоимость этих ребер равной 1. $t$ $x_e$ $t^-$ $t^+$ $(t^-,t^+)$

Шаг 3: Заменить каждое ребро ребрами . Установите стоимость этих ребер равной 0. $\{a,b\}\in E$ $(a^+,b^-),(b^+,a^-)$

Шаг 4: Добавьте новую вершину и добавьте ребра со стоимостью 0. $y_e$ $(s,y_e),(t,y_e)$

Шаг 5: установите все мощности на 1.

Теперь запустите алгоритм минимального потока затрат, ища поток значения 2 от до . $x_e$ $y_e$

Анализ:

$x_e$ $y_e$ $x_e\leadsto s\to y_e$ $x_e\leadsto t\to y_e$
Пути не пересекаются, поскольку для каждой вершины в дуге есть только 1 емкость . $t$ $(t^-,t^+)$
Возвращенные пути - это два пути, сумма расстояний которых минимальна, и это также стоимость найденного потока. Это позволяет нам добавить в выходной граф или удалить в противном случае. $e$

— RB
источник

Проще понять аргумент в ответе выше, отбросив приведение к направленному потоку. Существует простой путь от до содержащий узел если существует путь от до и путь от до такой, что и не пересекаются, за исключением . Это принципиально использует ненаправленность. Это может быть проверено с помощью потока, а версия стоимости также может быть выполнена с помощью потока минимальной стоимости. Можно проверить, существует ли простой путь от до содержащий

s

$s$

t

$t$

v

$v$

P

$P$

v

$v$

s

$s$

Q

$Q$

v

$v$

t

$t$

P

$P$

Q

$Q$

v

$v$

s

$s$

t

$t$

e

$e$ введя узел в середине .

e

$e$

— Чандра Чекури

@ChandraChekuri - это правильно, но имейте в виду, что если у проблемы нет ограничения по длине, существует гораздо более простой алгоритм ее решения - см. Здесь

— RB

Конечно, я тоже знаю об этом решении - концептуально было бы хорошо понимать двусвязные компоненты через непересекающиеся пути, даже если можно найти вершины среза и двусвязные компоненты непосредственно через DFS.

— Чандра Чекури

@RB: Спасибо. Предлагаемый алгоритм может быть эффективен, когда l относительно велико, но, вероятно, он неоптимален для относительно небольших значений l. Я думаю, что я могу сначала обрезать G, удалив любую вершину дальше пола (l / 2) от s и ceil (l / 2) от t.

— Лиор Коган

Попробуйте адаптировать алгоритм последовательного кратчайшего пути (также называемый алгоритмом Сурбалла для случая 2 путей, который представляет интерес здесь). Вы хотите найти кратчайшие 2-пути от (лучше называть его вместо поскольку он одинаков для всех ребер) до каждого . Я думаю, что это эффективно выполнимо, сначала вычисляя дерево кратчайшего пути от а затем с некоторой осторожностью реализуя вычисление второго пути.

y

$y$

y

$y$

y_{e}

$y_e$

x_{e}

$x_e$

y

$y$

— Чандра Чекури

$s$ $t$ $s$ $t$ $\le \ell$

$O(|V|+|E|)$ $\ell$

$s$ $\ell$ $V_s$ $s$ $\ell$ $dist(s,v)$ $v \in V_s$ $t$ $V_t$ $t$ $V_{solution}=\{ v : v \in V_s \cap V_t, dist(s,v)+dist(t,v) \le \ell \}$ $E[V_{solution}]$ $=(v,u) \in E : u,v \in V_{solution}$

$O(|V|+|E|)$ $O(|V_s| + |V_t| + |E[V_s]|+|E[V_t]|)$ $\ell$ $s$ $t$ маленькие.

$s$ $t$ $\ell/2$ $\ell$ $\ell$

— пельмени мобиус
источник

t - u - s - v - x

$t-u-s-v-x$

l = 4

$l=4$

v

$v$

v

$v$

Спасибо за исправление @RB. Я отредактировал свой ответ, чтобы отметить, что это неправильно.

— клецки мобиуса

Это подразумевается как комментарий, но его слишком долго публиковать как комментарий.

$G = (V, E)$ $H = (V, E')$ $H = (V, E', w)$

$O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$ $O(n^{4/3})$

Если это звучит полезно, я могу попытаться выкопать соответствующие конструкции для вас.

— GMB
источник