ПСУ с неограниченной дробной шириной гипердерева

На SODA 2006 работа Мартина Грохе и D sharp Нила Маркса «Решение ограничений с помощью дробных краевых покрытий» ( цитирование ACM ) показала, что для класса гиперграфов H с ограниченной дробной шириной гипердерева CSP ( H ) \ in ПТИМ .$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

Определения и т. Д.

Большой обзор разложений стандартных деревьев и ширины деревьев см. Здесь (Заранее спасибо, JeffE!).

Пусть $H$ гиперграф.

Тогда для гиперграфа $H$ и отображения $\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$ ,

$B(\gamma) =$ { $v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$ }.

Кроме того, пусть weight ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ .

Тогда дробное разложение гипердерева $H$ является тройным $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ , где:

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ - это разложение дерева $H$ , и
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ - это семейство отображений из $E(H)$ в $[0, \infty)$ st для каждого $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$ ,

Тогда мы говорим ширину от является {вес }.$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Наконец, дробная шириной гипердерева из , FHW ( ), является минимумом ширины по всему возможному дробному гипердереву разложения .$H$$H$$H$

Вопрос

Как указано выше, если дробная ширина гипердерева основного графа CSP ограничена константой, то для решения CSP существует алгоритм с полиномиальным временем. Однако в конце связанной статьи осталась нерешенной проблема, существуют ли какие-нибудь разрешимые семейства экземпляров CSP за полиномиальное время, имеющие неограниченную ширину гипердерева. (Я должен также отметить, что этот вопрос полностью решен в случае ограниченной и неограниченной длины дерева ( ACM-цитирование ) в предположении, что .) Поскольку с момента публикации первой ссылки прошло некоторое время, плюс я относительно не осведомлен об общем состоянии этого подполя, мой вопрос:$FPT \ne W[1]$

Известно ли что-нибудь о (не) управляемости CSP над графами с неограниченной дробной шириной гипердерева?

Вы связались с двумя статьями, обе с предположениями. Я полагаю, вы имеете в виду гипотезу Гроэ в 2007 году.

На этот вопрос ответили в 2008 году:

Теорема 5. CSP (C , _) находится в NP, но ни в P, ни в NP-полной (если P = NP). Более того, множество C может быть определено за детерминированное полиномиальное время.$_0$$_0$

• Мануэль Бодирский и Мартин Гроэ, Недихотомия в сложности удовлетворения ограничений , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

Идея состоит в том, чтобы продуть отверстия в размерах экземпляра CLIQUE, используя ту же технику отложенной диагонализации, введенную Ладнером для его теоремы. Отметим, что множество C содержит сколь угодно большие клики, а ширина дробного гипердерева клика равна . Таким образом, возможно иметь CSP вида CSP (A, _), которые имеют промежуточную сложность, где A имеет неограниченную дробную ширину гипердерева. Это отвечает гипотезе Гроэ в отрицательном.$_0$$n$$n/2$

На той же конференции у Чена, Терли и Вейера была статья с похожим результатом, но это требовало сильных вложений, так что технически не было правильной формы для гипотезы.

• Ицзя Чен, Марк Терли и Марк Вейер, Понимание сложности изоморфизмов индуцированного подграфа , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Наконец, любой класс экземпляров CSP может быть преобразован в представление с дробной шириной гипердерева. Во многих случаях это преобразование ограничено полиномиальным размером и может быть выполнено за полиномиальное время. Это означает, что легко генерировать CSP с неограниченной дробной шириной гипердерева, даже по модулю гомоморфной эквивалентности. Эти CSP не будут иметь форму CSP (A, _), поскольку целевые структуры являются особыми, но они действительно дают четкую причину, по которой CSP, определенные ограничением только исходных структур, не так уж интересны: часто это просто слишком легко скрыть древовидную структуру экземпляра CSP, изменив представление так, чтобы исходная структура имела большую ширину. (Это обсуждается в главе 7 моей диссертации .)