Сложность свертки в кольце max / plus

Мы можем сделать свертку в для полиномов плюс / умножение с FFT. Тем не менее, подход не кажется очень обобщенным для колец в целом. Был ли какой-нибудь прогресс по наивной свертке для кольца max / plus?$O(n\log n)$$O(n^2)$

Я должен отметить, что можно преобразовать soft-max / plus в plus / product, выполняя возведение в степень. Здесь .$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Есть более общий вопрос о mathoverflow .

Я задал подобный вопрос о CS.SE . Jbapple предоставил хороший ответ. Цитировать

«Ожерелья, свертки и X + Y», Bremner et al. показывает алгоритм для этой задачи на реальной оперативной памяти и алгоритм в модели неоднородного линейного дерева решений.$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$$O(n \sqrt{n})$

Любое улучшение этой границы позволит пролить свет на несколько жестких открытых проблем, таких как сортировка и кратчайший путь всех пар.$X+Y$

Если одна из функций является выпуклой / вогнутой, мы можем решить задачу за времени. См. «Ускорение динамического программирования», Eppstein et al. ,$O(n\log n)$