NP полный граф задач о структурных свойствах

(Этот вопрос немного «опрос».)

В настоящее время я работаю над проблемой, в которой я пытаюсь разделить края турнира на два набора, оба из которых необходимы для выполнения некоторых структурных свойств. Проблема "чувствует" довольно сложно, и я полностью ожидаю, что это будет $\mathcal{NP}$ полной. По некоторым причинам мне трудно даже найти подобные проблемы в литературе.

Пример проблемы, которую я считаю сопоставимой с той, с которой я имею дело:

Для взвешенного турнира , есть ли дуга обратной связи, заданная в ребра которой удовлетворяют неравенству треугольника? $G = (V,E,w)$ $G$

Обратите внимание на отличие от традиционной проблемы с набором дуг обратной связи: мне не важен размер набора, но меня интересует, имеет ли сам набор определенное структурное свойство.

Сталкивались ли вы с какими-либо проблемами с решением, которые похожи на это? Вы помните, были ли они полными или в ? Любая помощь приветствуется. $\mathcal{NP}$ $\mathcal{P}$

cc.complexity-theory reference-request np-hardness

— Г. Бах
источник

Возможно, вы сможете объяснить структурные свойства вашей проблемы, здесь есть много экспертов, знакомых с доказательствами NPC, и вместо ссылки вы можете получить подтверждение NPC :-)

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Я бы очень хотел, чтобы мне не давали доказательства проблемы, с которой я сталкиваюсь; это первый раз, когда я провожу реальные исследования, и я хотел бы посмотреть, где я могу найти себя самостоятельно

— Г. Бах,

Для меня вопрос звучит слишком расплывчато, и трудно догадаться, что на самом деле задают. Возможно, вопрос следует сделать более конкретным: что вы подразумеваете под «чувствовать себя похожим на это» и что вы подразумеваете под «дугой обратной связи, заданной в G, ребра которой удовлетворяют неравенству треугольника»; Вы хотите получить ссылку на проблему с набором дуг обратной связи или на другую проблему?

— Ёсио Окамото

@YoshioOkamoto Я понимаю, что в этом вопросе есть некоторая неопределенность, и я надеялся, что пример прояснит кое-что из этого. Под «множеством дуг обратной связи в G, ребра которого удовлетворяют неравенству треугольника», я имею в виду: если

- множество дуг обратной связи и

, то

F

$F$

(a, b)

$(a,b)$

(b, c)

$(b,c)$

(a, c)

$(a,c)$

\in F

$\in F$

w (a, b) + w (b, c) \geq w (a, c)

$w(a,b) + w(b,c) \ge w(a,c)$ должен держать для

чтобы выполнить это свойство. Раньше я сталкивался только с подобными проблемами

, но я хочу, чтобы

имел свойство, не связанное с его количеством элементов.

F

$F$

| F | \leq k

$|F| \le k$

F

$F$

— Г. Бах

может кто-нибудь дать ссылку / ссылку на "традиционную проблему с набором дуг обратной связи" ...?

— ВЗН

Ответы:

Я думаю, что есть много подобных проблем. Вот два в вершинной версии и один в граничной версии:

1) Имеет ли данный граф независимый набор вершин обратной связи? (нас не волнует размер набора). Эта проблема является NP-полной; доказательство может быть получено из доказательства теоремы 2.1 в Garey, Johnson & Stockmeyer .

2) Имеет ли данный граф покрытие вершин, которое индуцирует дерево ? (нас не волнует размер набора). Эта статья дает доказательство NP-полноты этой задачи (теорема 2); даже для двудольных графов.

3) Имеет ли данный граф доминирующее ребро, множество ребер которого образуют индуцированный -регулярный подграф $1$ ? (также известный как доминирующее индуцированное сопоставление или эффективное доминирование ребер; вершинная версия дана во втором ответе Мухаммедом. Опять же, нас не волнует размер множества). Эта задача является NP-полной (хорошо известной, впервые доказанной здесь ) даже для плоских двудольных графов.

Первые две проблемы являются частными примерами класса задач, называемого стабильным : Пусть $\pi$ свойство графа. Имеет ли данный граф покрытие вершин, удовлетворяющее ? Более NP-полные случаи, а также полиномиально разрешимые случаи можно найти в этой и вэтойстатье (и в ссылках, приведенных там). $\pi$ $\pi$

— VB Le
источник

Это именно те проблемы, которые я ищу!

— Г. Бах

@ G.Bach Так как это точно отвечает на ваш вопрос, я предлагаю вам принять ответ и присудить награду.

— Мухаммед Аль-Туркистани

@ MohammadAl-Turkistany Я согласен; по какой-то причине я смогу присудить награду только через час.

— Г. Бах

Спасибо за ваш хороший пост. Я долго думал над одной и той же строкой.

— Мухаммед Аль-Туркистани

$C$ $C$ $NP$ $NP$

Д. У. Банге, А. Е. Баркаускас и П. Дж. Слейтер. Эффективные доминирующие множества в графах . Приложения дискретной математики, Учеб. 3-я SIAM Conf., Clemson / South Carolina 1986, 189-199 (1988)., 1988.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Другими вариантами Доминирующего набора являются Связанный доминирующий набор и Независимый доминирующий набор .

— Раду Куртикапин

@RaduCurticapean Но с этими вариантами вы заботитесь о размере решения.

— VB Le

Да, я упустил это.

— Раду Куртикапин

$NP$ $NP$

Отверстие имеет хордовый цикл длиной более трех. Цикл в ориентированном графе является хордовым, если его длина больше 3, и ни одна из его вершин не соединена ребром ориентированного графа, который не принадлежит циклу.

$NP$ $P$ .

$NP$

Важность обнаружения нечетной структуры в графах подчеркивается недавним прорывом в теореме о сильном совершенном графе . Это показывает, что граф идеален тогда и только тогда, когда ни он, ни его дополнительный граф не имеют нечетной дыры.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Цикл индуцируется циклом тогда и только тогда, когда он является хордовым циклом (также называемым дыркой).

— Мухаммед Аль-Туркистани

Оба ваших ответа звучат как проблема, которую я ищу, спасибо!

— Г. Бах