Аппроксимация в субэкспонентальное время

Есть исследования об алгоритмах аппроксимации для NP полных задач за полиномиальное время и точных алгоритмов за экспоненциальное время. Проводятся ли исследования по алгоритмам аппроксимации для полных задач NP в субэкспоненциальном времени вида где ? $2^{n^{\delta_2}}$ $\delta_2\in(0,1)$

Меня особенно интересуют то, что известно о проблемах, приближающихся к сложному полиномиальному времени, таких как число независимости и число Клика в субэкспоненциальном времени? Обратите внимание, что ETH запрещает точные вычисления только в такие сроки. Скажем, номер независимости $\alpha(G)=2^{r(n)n}$ на графе с количеством вершин $|V|=2^{s(n)n}$ для некоторых $0<r(n)<s(n)$ . Возможна ли схема приближения $2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ для числа Независимости во времени $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$ где $0<\delta_1<1$ и $0<\delta_2<1$ - некоторые фиксированные положительные реалы?

То есть для каждого $\delta_1\in(0,1)$ существует $\delta_2\in (0,1)$ , так что $\alpha(G)$ может быть аппроксимирован в пределах $2^{\log_2^{\delta_1}(\alpha(G))}=2^{(r(n)n)^{\delta_1}}$ фактор времени $2^{|V|^{\delta_2}}=2^{2^{\delta_2s(n) n}}$ ?

approximation-algorithms approximation-hardness

— Т ....
источник

Вы действительно хотели спросить время выполнения сублинейного числа?

— Сашо Николов

Нет, время выполнения субэкспоненциально. Полностью экспоненциальный будет

2^{| V |}

$2^{|V|}$ . Здесь время выполнения имеет форму

2^{| V |^{δ_{1}}}

$2^{|V|^{\delta_1}}$ а здесь

α (G) = 2^{r (n) n} = | V |^{\frac{r (n)}{s (n)}} < | V | = 2^{s (n) n}

$\alpha(G)=2^{r(n)n}=|V|^{\frac{r(n)}{s(n)}}<|V|=2^{s(n)n}$ .

— T ....

Это должно быть

δ_{2}

$\delta_2$ в предыдущем комментарии, и у нас есть

α (G) < | V | < 2^{| V |^{δ_{2}}} < 2^{| V |}

$\alpha(G)<|V|<2^{|V|^{\delta_2}}<2^{|V|}$ .

— T ....

Я думаю, что у меня были опечатки раньше.

— T ....

Это теперь ясно?

— T ....

Ответы:

Ответом на этот вопрос является статья Chalermsook, Laekhanukit & Nanongkai (2013) .

Существуют также смежные работы в контексте возможности использования фиксированных параметров, такие как Hajiaghayi, Khandekar, & Kortsarz (2013) и Chitnis, Hajiaghayi, Kortsarz (2013) . Эти результаты по твердости доказаны при различных допущениях, таких как ETH или наличие очень сильных PCP.

— Игорь Шинкарь
источник

arxiv.org/pdf/1308.2617v2.pdf говорит: «Для любого большего чем некоторая константа, любой алгоритм аппроксимации для задачи с максимальным независимым множеством должен выполняться как минимум в

r

$r$

r

$r$

2^{n^{1 - ϵ} / r^{1 + ϵ}}

$2^{{n^{1-\epsilon}}/{r^{1+\epsilon}}}$ времени. Это почти соответствует верхней границе ". Таким образом, коэффициент приближения может быть достигнут за время для некоторого ?

2^{n / r}

$2^{n/r}$

r = 2^{(s (n) n)^{δ_{1}}}

$r=2^{({s(n)n})^{\delta_1}}$

2^{2^{r (n) n - (s (n) n)^{δ_{1}}}} = 2^{2^{1 - \frac{(s (n) n)^{δ_{1}}}{r (n) n} r (n) n}} = 2^{2^{δ_{2} r (n) n}}

$2^{2^{r(n)n - ({s(n)n})^{\delta_1}}} = 2^{2^{1 - \frac{({s(n)n})^{\delta_1}}{r(n)n}r(n)n}}=2^{2^{\delta_2 r(n)n}}$

δ_{2} > 1 - \frac{(s (n))^{δ_{1}} n^{δ_{1} - 1}}{r (n)}

$\delta_2 >1 - \frac{({s(n)})^{\delta_1}{n}^{\delta_1-1}}{r(n)}$

— T ....

У вас есть много алгоритмов (аппроксимация с фиксированным параметром), для которых сублинейный параметр переводится в субэкспоненциальное время по длине ввода. $FPA$

Например, аппроксимация числа простых путей длины для некоторого (где ) дает время выполнения: $k$ $k=n^c$ $c<1$

$O((2e)^{n^c}\cdot 2^{polylog(n)})$ .

— RB
источник