Барьеры для разделения других классов сложности

Влияет ли естественное доказательство , релятивизация и алгебризация на разделение других классов сложности, таких как т. Д.?$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

Например, барьер естественных доказательств должен влиять на любое доказательство поскольку он будет отделять . Однако отношения между и , по-видимому, не имеют большого отношения к OWF по сравнению с отношением между и . Так влияют ли естественные доказательства на более сильное разделение ?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Есть (по крайней мере) две области, где существующие барьеры мало что могут сказать:

Нижние границы ACC Нет никакого известного барьера для доказательства того, что TC0 не находится в (неоднородном) ACC - кроме возможности того, что разделение может быть ложным. Неясно, должен ли барьер Natural Proofs применяться к ACC. Вопрос сводится к следующему: следует ли ожидать появления в ACC псевдослучайных функций?

LOGSPACE против NP Как указывает Fortnow , существующие механизмы оракула для ограниченных в пространстве вычислений, по-видимому, не представляют реального барьера для LOGSPACE против NP. Насколько мне известно, известные модели оракула, которые приводят к коллапсу LOGSPACE и NP, также разрушают Чередующийся LOGSPACE (то есть, P) и Чередующийся POLYTIME (то есть, PSPACE), следовательно, эти оракулы обрабатывают чередующиеся вычислительные модели несовместимо с реальностью (поскольку LOGSPACE не равен в пространство).

Результат Разборова и Рудича в их статье о естественных доказательствах является довольно общим. Это не ограничено$\mathsf{P}$ против $\mathsf{NP}$,

Мне лично нравится ясность объяснения в недавней книге Стасиса Юкны « Сложность булевой функции: достижения и границы »:

Определение 18.30. Функция$G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$ с $l < n$ называется $(s,\epsilon)$безопасный псевдослучайный генератор, если для любой схемы $C$ размера $s$ на $n$ переменные,

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ где $y$ выбран равномерно наугад в $\{0,1\}^n$, а также $x$ в $\{0,1\}^l$,

Определение 18.31. Позволять$f : {0,1}^n \to {0,1}$быть булевой функцией. Мы говорим, что$f$ является $(s,\epsilon)$-трудно, если для какой-либо цепи $C$ размера $s$,

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ где $x$ выбран равномерно наугад в $\{0,1\}^n$,

Генератор псевдослучайных функций является булевой функцией $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$, Установив$y$случайные переменные, мы получаем его случайную подфункцию $f_y(x) = f(x,y)$, Позволять$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$быть действительно случайной булевой функцией. Генератор$f(x,y)$ защищен от $\Gamma$-приступает, если для каждой цепи $C$ в $\Gamma$,

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

$\Gamma$естественное доказательство против $\Lambda$ это свойство $\Phi : B_n \to {0,1}$удовлетворяющих следующим трем условиям:
1. Полезность против$\Lambda$ : $\Phi(f) = 1$ подразумевает $f \notin \Lambda$,
2. Большая:$\Phi(f) = 1$ как минимум $2^{−O(n)}$ доля всего $2^{2^n}$ функции $f \in B_n$,
3. Конструктивность:$\Phi \in \Gamma$то есть, когда рассматривается как логическая функция в $N = 2^n$ переменные, свойство $\Phi$ сам принадлежит к классу $\Gamma$,

Теорема 18.35. Если класс сложности$\Lambda$ содержит генератор псевдослучайных функций, который защищен от Γ-атак, то нет $\Gamma$естественное доказательство против $\Lambda$,

Вопрос в следующем: 1. Верим ли мы в существование таких сложных функций? 2. Насколько конструктивными / большими мы ожидаем, что свойства в возможных в настоящее время доказательствах разделения будут?

С другой стороны, Разбаров упоминал в разных местах, что он лично рассматривает результат как руководство к тому, чего следует избегать, а не как существенное препятствие для доказательства нижних оценок.

Помимо работ Райана Уильямса за последние несколько лет, он упомянул две статьи:

1. Тимоти Чоу , « Почти естественное доказательство », 2008, в котором говорится, что если мы немного ослабим величие, то есть естественные свойства, которые могли бы отделить$\mathsf{NP}$ от $\mathsf{P}$,

2. Эрик Аллендер и Михал Куки , « Усиление нижних границ с помощью самовосстанавливаемости », 2008, в котором говорится, что отделить$\mathsf{NC^1}$ от $\mathsf{TC^0}$ нам нужно только доказать слегка суперлинейные нижние оценки на размер $\mathsf{TC^0}$схемы вычисления задачи оценки булевой формулы. Существование естественных доказательств такой нижней оценки не представляется необоснованным.

Релятивизация и алгебраизация немного сложнее и зависят от того, как мы определяем релятивизацию для этих классов. Но, как правило, простая диагонализация (диагонализация, которая использует один и тот же контрпример для всех машин, вычисляющих одну и ту же функцию, т. Е. Контрольный пример зависит только от того, какие машины в меньших вычислениях, и не зависит от их кода и того, как они вычисляют. ) не может разделить эти классы.

Можно извлечь непростые функции диагонализации из косвенных результатов диагонализации, такие как нижние границы пространства-времени для SAT.