Каковы убедительные причины верить

23

Каковы убедительные причины верить $L\neq P$ ? L - класс алгоритмов лог-пространства с указателями на вход.

Предположим, что L = P на данный момент. Как будет выглядеть алгоритм лог-пространства для P-полной задачи в общих чертах?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Jumer
источник

2

в некотором смысле это был бы алгоритм сжатия пространства для вычисления машины Тьюринга с P-временем, который обычно занимает P-пространство. следовательно, если L ≠ P, то существует некоторый «(в) предел сжимаемости» P. возможное направление строительства / вопроса / исследования, основанное на этом угле, сжатие последовательности прогона ТМ

— vzn

1

см. также разделение цитируемой там записи блога L / P & kintalis

— vzn

28

Результат Mulmuley в (с веба - страницы Mulmuley в без платного доступа) , что, в модели PRAM без битовых операций, « $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ ». (В обычной булевой модели, в которой живет $\mathsf{L}$ , $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NC}$ ) Эта модель достаточно сильна, и в результате любой алгоритм $\mathsf{L}$ для $\mathsf{P}$ -полной задачи должен выглядеть совсем не так, как в большинстве известных алгоритмов для $\mathsf{P}$ -полных задач.

Модель PRAM без битовых операций - это неоднородная алгебраическая модель над $\mathbb{Z}$ (аналогичная алгебраическим деревьям вычислений или алгебраической RAM-модели Блюма-Шуба-Смейла), в которой неоднородная программа может зависеть не только от числа целочисленных входов, но и также на их общую длину в битах. Таким образом, это не «чисто» алгебраическая модель, а живет где-то между алгебраической и логической. Эта модель включает в себя многовременные алгоритмы линейного программирования, maxflow, mincut, взвешенное остовное дерево, кратчайшие пути и другие задачи комбинаторной оптимизации, алгоритм пространства журналов для изоморфизма деревьев (см. Комментарии ниже) и алгоритмы аппроксимации комплексных корней полиномов, Вот почему я говорю любой алгоритм $\mathsf{L}$ для $\mathsf{P}$ -полная проблема (которая, как известно из вашего вопроса, большинство людей считает, что ее не существует) должна была бы выглядеть совершенно иначе, чем любая из них.

— Джошуа Грохов
источник

В своей гипотезе на странице 62, как Малмулей связывает

с потоком минимальной стоимости? Почему

должно быть линейным, а

- биекцией? Предположение, по-видимому, не подразумевает, что линейное отображение ранга

(поскольку обратное отображение линейного отображения 1–1 является линейным), вычисленное на множестве нулей

может покрыть

. Правильна ли моя интерпретация?

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L

$L$

F

$F$

k

$k$

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L (n)

$L(n)$

— T ....

(Хороший вопрос, но кажется несколько ортогональным к вопросу, задаваемому здесь ...) Да. Все, что можно эффективно вычислить в модели PRAM без битовых операций, имеет небольшую формулу

, поэтому (по Valiant) это проекция det:

. В частности,

тогда и только тогда, когда

φ

$\varphi$

φ (x) = det (F (x))

$\varphi(x) = \det(F(x))$

x \in L (n)

$x \in L(n)$

det (F (x)) = 1

$\det(F(x)) = 1$

x \in F^{- 1} (S L_{m})

$x \in F^{-1}(SL_m)$ ,

— Джошуа Грохов

единственное предположение - что, по-видимому, имеет место. Довольно интересно! Как и в случае любых других подобных предположений и доказательств сложности. Известен ли другой путь: то есть, если , есть ? Я никогда не видел таких обращений в теории сложности, или такие обращения невозможны?

d e t \notin N C^{1}

$det\notin NC^{1}$

d e t \in N C^{1}

$det\in NC^1$

P = N C

$P=NC$

— T ....

@JAS: Я не понимаю, что вы подразумеваете под «единственным предположением ...»: я не думаю, что из этого следует, что , если вы это говорили ...

det \notin N C^{1} \Rightarrow P \neq N C

$\det \notin NC^1 \Rightarrow P \neq NC$

— Джошуа Грохов

1

@JAS: Вера , что

поддерживает предположение, но это не означает , гипотезу. Он упоминает обратное: если идеальное совпадение

то гипотеза ложна для малых

. Эквивалентно, если гипотеза верна, то идеальное соответствие

. Обратите внимание, что это противоположное направление того, что вы говорили.

d e t \notin N C^{1}

$det \notin NC^1$

\in N C^{1}

$\in NC^1$

a

$a$

\notin N C^{1}

$\notin NC^1$

— Джошуа Грохов

15

Существует ряд работ М. Хофманна и У. Шёппа , в которых формализовано интуитивное представление о «типичных алгоритмах логарифмического пространства», использующих только постоянное число указателей на структуру входных данных, в качестве языка программирования PURPLE (программы с чистым указателем с итерации.)

Даже несмотря на то, что программы PURPLE не охватывают весь (было показано, что они не могут определять ненаправленные st-связности), показано, что их расширение с подсчетом захватывает большую долю , но не проблема P-complete Horn-SAT , Это показано в последней статье из серии: М. Хофманн, Р. Рамя и У. Шёпп: Программы с чистым указателем и древовидный изоморфизм, FOSSACS 2013. $\mathsf{L}$ $\mathsf{L}$

Похоже, что вывод заключается в том, что алгоритмы логарифмического пространства для полных задач должны быть очень нетипичными и выходить за рамки того, что может быть реализовано в PURPLE со счетом. $\mathsf{P}$

— Ян Йоханнсен
источник

5

PURPLE со счетом - интересная модель, которая соответствует моей наивной интуиции алгоритмов лог-пространства. Но я не знаю, является ли этот результат хорошим доказательством для

: они даже говорят: «Итак, удовлетворительность по Хорну не может быть решена в PURPLE, дополненной недетерминизмом и счетом, но по той самой причине, что конкретная проблема LOGSPACE, а именно дерево изоморфизм не может ". По сути, это говорит о том, что результат на самом деле связан со слабостью счета PURPLE + (что соответствует наивной интуиции алгоритмов logspace), а не со слабостью L ...

L \neq P

$L \neq P$

— Джошуа Грохов

3

Описательная сложность попыталась дать некоторые ответы.

FO (первый логический порядок), с Ord (упорядочение домена) и ТС (транзитивное замыкание) . $= L$

FO + Ord + LFP (минимум фиксированная точка) . $= P$

Возникает вопрос - FO + Ord + TC FO + Ord + LFP? $\subset$

С другой стороны, FO + LFP (без ord) не может даже сосчитать! Например, он не может выразить тот факт, что мощность домена является четной. Эта логика, конечно, не может охватить - но вопрос в том, может ли она захватить или ? $P$ $L$ $NL$

См. Например, http://www.cs.umass.edu/%7Eimmerman/pub/EATCScolumn.pdf.

И затем логика второго порядка (SO) + Horn захватывает P, тогда как SO + Krom захватывает NL. См. Эрих Градель, Захват классов сложности фрагментами логики второго порядка , Теоретическая информатика, 1992.

— Мартин Сеймур
источник

3

L

$\mathsf{L}$

Согласен. Тогда вопрос (или, скорее, один из вопросов) - это FO + LFP (без ord) строгое подмножество FO + LFP (с ord)?

— Мартин Сеймур

0

$\sf{P}$ $\sf{GEN}$ $k$ $\Theta(k \log n)$

— NisaiVloot
источник