Трудность в понимании квантового алгоритма для задачи об абелевой скрытой подгруппе

11

У меня есть трудности в понимании последних шагов алгоритма AHSP. Пусть абелева группа и функция , которая скрывает подгруппу . Пусть представляет двойную группу . $G$ $f$ $H$ $G^*$ $G$

Вот шаги алгоритма

Сначала подготовь государство,

. $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$
Затем примените квантовый оракул, который оценивает на , мы получаем $f$ $I$

. $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$
Теперь измерим второй кубит , получим $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

для некоторого . $r \in G$
Теперь мы применяем квантовое преобразование Фурье на первом кубите, получим

, $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

где . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Теперь из состояния как мы можем получить генераторы группы ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— user774025
источник

Я настоятельно рекомендую прочитать конспект лекций Эндрю Чайлдса по AHSP. Они доступны по адресу math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Робин Котари

4

Эта классическая постобработка использует несколько нетривиальных групповых теоретических свойств абелевых групп. Я написал дидактическое объяснение того, как этот классический алгоритм работает здесь [1] ; другие хорошие источники для чтения [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

$H$ $H^{*}$

Теория персонажей

$G$ $G$

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

$H$ $H^*$ $H$ $H$

$H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Линейные уравнения над группами

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$ таким образом, что вышеуказанная проблема может быть переформулирована как где мы предполагаем .

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

Последнее ключевое наблюдение состоит в том, что существуют эффективные классические алгоритмы, позволяющие решить, допускают ли эти системы решения, подсчитать их и найти их (некоторые из них мы рассмотрели в [1] ). Множество решений всегда имеет вид , где - это конкретное решение, а - ядро (подгруппа ). Эти классические алгоритмы могут найти конкретное решение системы и вычислить порождающий набор . Эти классические алгоритмы решающим образом используют нормальные формы Смита. $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ переписать систему в почти диагональной форме (необходимы некоторые другие промежуточные шаги, но это должно дать вам интуитивную картину).

Система уравнений , что вы получите в вашем случае кодирует скрытую подгруппу . В частности, имеет вид для некоторого группового гомоморфизма . Ядро - это именно скрытая подгруппа. Конкретным решением в этом случае является 0, тривиальное. $H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Хуан Бермехо Вега
источник

2

После вашего шага 4 измерение в вычислительном базисе случайным образом даст нам один . $I_m$ $\chi \in G^*$

Затем повторите все шаги , которые вы дали раз , чтобы получить список символов в двойственной группе . Этот список символов порождает подгруппу двойственной группы . $n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

Затем мы проверяем через (классический) все возможные подгруппы , чтобы найти тот , где является . $H$ $H^*$ $K$

Для фиксированного это не всегда уникальное совпадение, поэтому при вырождении мы просто выбираем наибольшее совпадение (так как тривиальная подгруппа будет соответствовать всем спискам символов). $n$

— WJ Zeng
источник