Неоднозначность в обычных и контекстно-свободных языках

Я понимаю следующие утверждения, чтобы быть правдой:

1. Два разных вывода строки в данном CFG могут иногда приписывать строку одному и тому же дереву разбора.
2. Когда есть производные некоторой строки в данном CFG, которые приписывают различные деревья разбора, CFG является неоднозначным.
3. Некоторые языки без контекста, генерируемые неоднозначными CFG, также генерируются однозначными CFG.
4. Некоторые языки таковы, что единственные CFG, которые могут их генерировать (а таких есть), неоднозначны.

Q1. Я понимаю также, что неразрешимо, является ли произвольный CFG неоднозначным, в смысле пункта 3 выше. Или, скорее, неразрешимо, является ли язык без контекста неоднозначным в смысле пункта 4? Или оба неразрешимы?

Q2. Какие из пунктов 1-4 становятся ложными, когда мы заменяем «контекстно-свободный» на «обычный»? Регулярные грамматики и языки всегда однозначны?

О вопросе 1: и проблема неоднозначности (с учетом CFG, является ли она неоднозначной) и проблема внутренней неоднозначности (с учетом CFG, является ли ее язык по своей сути неоднозначным, т.е. является ли любой эквивалентный CFG неоднозначным) неразрешимы. Вот оригинальные ссылки:

• Неразрешимость двусмысленности была доказана Кантором (1962) , Флойдом (1962) и Хомским и Шютценбергером (1963) . Доказательства в учебниках обычно сводятся к проблеме почтовой переписки.
• Неразрешимость присущей неоднозначности была доказана Гинзбургом и Уллианом (1966) .

О Q2: Регулярная грамматика - это «односторонняя линейная» контекстно-свободная грамматика, где не более одного нетерминала появляется в правой части любого правила, и где этот нетерминал находится в конце (в правильных линейных грамматиках) или в первом (в левые линейные грамматики) положение. Такие грамматики легко переводятся в эквивалентные конечные автоматы (грубо говоря, рассматривая каждый нетерминал как состояние), которые однозначны, если регулярная грамматика однозначна. Класс однозначных регулярных грамматик и однозначных автоматов был изучен, в частности, Stearns and Hunt (1985) , которые показывают, что им нравятся алгоритмы для решения задачи включения.

1. О связи между деривациями (т. Е. Последовательностями приложений правил где - это правило грамматики) и деревьями деривации (т. Е. Когда узел с меткой является родителем последовательности узлов , где - это правило): в общем CFG могут быть разные деривации, которые по-разному посещают одно и то же дерево дериваций.A → α A X 1 , … , X m A → X 1 ⋯ X $\beta A\gamma\Rightarrow \beta\alpha\gamma$$A\to\alpha$$A$$X_1,\dots,X_m$$A\to X_1\cdots X_m$

   Эти различные деривации происходят потому, что у одного есть выбор между применением правила грамматики в двух разных местах в форме предложения: в форме предложения по крайней мере с двумя нетерминалами и , можно применить сначала и получите , или сначала и получите , но применение другого правила приведет к тому же . Наложение самого левого (всегда выводит самый левый нетерминал в любой форме предложения) или самое правоеВ → & alpha ; & gamma & alpha ; п В & thetas ; B → & beta ; & gamma п & beta ; & thetas ; & gamma & alpha ; п & beta ; & $\gamma A\eta B\theta$$A$$B$$A\to\alpha$$\gamma\alpha\eta B\theta$$B\to\beta$$\gamma A\eta\beta\theta$$\gamma\alpha\eta\beta\theta$ деривации устанавливают фиксированный порядок посещения деревьев деривации, и затем для данного деривационного дерева существует один деривация.

   В линейной контекстно-свободной грамматике такого выбора нет, так как в любой предложенной форме существует не более одного нетерминала, и для данного дерева деривации существует только один вывод, который является как крайним левым, так и самым правым.

2. Наличие двух разных деревьев разбора с одинаковым выходом (последовательность листьев) является определением того, что является неоднозначным, оно не меняется при рассмотрении регулярных грамматик. В качестве альтернативы можно также запросить два разных крайних левых вывода. Обратите внимание, что деривация в односторонней грамматике соответствует принимающему прогону в связанном с ним автомате конечных состояний, который точно так же называется неоднозначным : когда существуют два разных приемных прогона для данного входа .w $w$$w$$w$

3. и 4. Если вы берете представление о автоматах в конечном состоянии, достаточно определить ваш неоднозначный автомат, чтобы получить однозначный автомат для того же языка: для любого данного слова будет один прогон. Этот детерминированный автомат эквивалентен однозначной регулярной грамматике.$~$

   Чтобы ответить на ваш комментарий: существуют неоднозначные регулярные грамматики, например, имеет два крайних левых вывода для : и . Эквивалентной однозначной грамматикой является .a S ⇒ A ⇒ a S ⇒ B ⇒ a S → $S\to A\mid B,\,A\to a,\,B\to a$$a$$S\Rightarrow A\Rightarrow a$$S\Rightarrow B\Rightarrow a$$S\to a$

Относительно связи с Q1: решаемо, является ли регулярная грамматика неоднозначной (присущая проблема неоднозначности не очень сложна для регулярных грамматик, поскольку ответ всегда «нет», даже не глядя на входную грамматику). Это можно проверить в с помощью возведения в квадрат на его ассоциированном автомате: построить произведение автомата на себя и посмотреть, доступно ли какое-либо состояние с и совместный доступ. Самое старое упоминание об этой идее - статья Эвена (1965) .( q , q ′ ) q ≠ q $O(|G|^2)$$(q,q')$$q\neq q'$

Q1. Все неразрешимо, так как вопрос о том, производит ли грамматика язык (содержащий все слова) или нет, неразрешим. Но если у вас есть какая-то определенная грамматика, например, грамматика, построенная с помощью детерминированного КПК, вопросы можно решить, но это очень скучный случай.Σ $G$$\Sigma^*$

Я не совсем понял, о каких языках вы говорите в 4. Каждый CF-язык имеет неоднозначную грамматику.

Q2. Все решаемо, если вы имеете дело с обычной грамматикой. Вам просто нужно создать минимальный DFA, и используя его, вы можете создать однозначную грамматику. Если вы имеете дело с обычным языком, определенным грамматикой CF, ответ - нет - см. Q1.

Это зависит от того, заменяете ли вы «свободный от контекста» словом «обычный» только перед «языком (языками)» или перед «грамматикой (ями)».

Все регулярные языки генерируются регулярными грамматиками и, в частности, однозначными регулярными грамматиками, например, правильными правильными грамматиками LL (1) , которые все однозначны.