Обложка ограниченного множества ограниченных частот: сложность аппроксимации

Рассмотрим задачу покрытия минимального набора со следующими ограничениями: каждый набор содержит не более элементов, а каждый элемент юниверса встречается не более чем в f наборах.$k$$f$

• Пример: случай и f = 2 эквивалентен задаче минимального покрытия вершин в графах с максимальной степенью 4.$k = 4$$f = 2$

Пусть будет наибольшим значением, так что нахождение a ( k , f ) -аппроксимации задачи покрытия минимального множества с параметрами k и f является NP-трудным.$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• Пример: ( Berman & Karpinski 1999 ).$a(4,2) \ge 1.0128$

Вопрос: у нас есть ссылка, которая суммирует самые сильные известные нижние оценки ? В частности, меня интересуют конкретные значения в случае, когда k и f малы, но f > 2 .$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

Ограниченные версии проблемы заданного покрытия часто удобны в сокращениях; как правило , есть некоторая свобода в выборе значения и е , а также дополнительную информацию о виде ( К , е ) поможет выбрать правильные значения , которые обеспечивают самые сильные результаты твердости. Ссылки здесь , здесь и здесь обеспечивают отправную точку, но информация несколько устарела и фрагментарна. Мне было интересно, есть ли более полный и современный источник?$k$$f$$a(k,f)$

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , как отметил Лев.
• Если гипотеза об уникальных играх верна, то , которая является жесткой (Хот & Регев, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Игнорируя ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (тривиально).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Холмерин, 2002)

Единственный известный мне результат, который объединяет два параметра:

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ для фиксированный или медленно растущий с (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

Существует связь между этой проблемой и проблемой (слабого) независимого набора, но я не совсем уверен, как они связаны с точки зрения приближенности. Я бы порекомендовал изучить это, возможно, начиная здесь: [PDF] .

Используя, как и в ответе Джеймса Кинга, обозначение для наилучшего приближения полиномиального времени покрытия вершин в равномерных гиперграфах степени не более , мы также имеем$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

из алгоритма жадного приближения для покрытия множеств: покрытие вершин в гиперграфах степени не более аналогично задаче покрытия множеств с наборами размеров не более , для которой жадный алгоритм имеет коэффициент приближения не более , где - гармоническая функция.Д Н Д Н п = 1 + 1 / 2 + ... 1 / п ≤ пер п + O ( 1 $\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

В этой статье я показываю, что

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

если только , изменив параметры при уменьшении по Фейге.$P=NP$

На тот случай, если вы еще не нашли его; Самым последним результатом твердости для покрытия вершин ограниченной степени, которое я нашел в недавних поисках, является Chlebik & Chlebikova , например, около 1,01 твердости в кубических графах.

Это не совсем отвечает на ваш вопрос, но, возможно, это может помочь - есть статья [Dinur et al. 2004], которая охватывает f> 2 (но, кажется, не фиксирует k).