Могут ли односторонние чередующиеся автоматы с одним счетчиком распознавать некоторые унарные нерегулярные языки?

Односторонние чередующиеся нажимные автоматы (1APDA) могут распознавать любой язык в (Чередование, Чандра, Козен и Стокмейер, 1981) . Заменив хранилище 1APDA со счетчиком, можно получить односторонний чередующийся автомат с одним счетчиком (1ACA). Мой вопрос о 1ACA на унарных языках.$DTIME(2^{O(n)})$

Может ли 1ACA распознавать некоторые унарные нерегулярные языки?

Обратите внимание, что однонаправленные недетерминированные автоматы с опрокидыванием могут распознавать только унарные регулярные языки.

Да. Рассмотрим язык и построим односторонний чередующийся автомат с одним счетчиком, распознающий следующим образом. Во-первых, автомат начинает увеличивать значение счетчика и угадывает, когда остановиться, то есть угадывает некоторое значение . Затем он разветвляется повсеместно: первая ветвь проверяет, что длина входа точно равна , а вторая ветвь перемещает ячеек вперед на входе и проверяет, что остаток находится в , переходя в исходное состояние управления. Теперь добавьте базовый случай: позвольте устройству принять, если длина входной ленты точно равна$L = \{ a^n \mid n = 2^s, s \geq 0 \}$$L$$m$$2 m$$m$$L$$1$, делая недетерминированное предположение в начальном состоянии. Это завершает строительство.

Подобным же образом можно получить продукты вида , с фиксированной и произвольной.$n = k_1^{s_1} \ldots k_r^{s_r}$$k_1, \ldots, k_r$$s_1, \ldots, s_r$